【记忆化搜索】2318. 不同骰子序列的数目

本文涉及知识点

记忆化搜索

LeetCode 2318. 不同骰子序列的数目

给你一个整数 n 。你需要掷一个 6 面的骰子 n 次。请你在满足以下要求的前提下，求出不同骰子序列的数目：
序列中任意相邻数字的最大公约数为 1 。
序列中相等的值之间，至少有 2 个其他值的数字。正式地，如果第 i 次掷骰子的值等于第 j 次的值，那么 abs(i - j) > 2 。
请你返回不同序列的总数目。由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。
如果两个序列中至少有一个元素不同，那么它们被视为不同的序列。
示例 1：

输入：n = 4
输出：184
解释：一些可行的序列为 (1, 2, 3, 4) ，(6, 1, 2, 3) ，(1, 2, 3, 1) 等等。
一些不可行的序列为 (1, 2, 1, 3) ，(1, 2, 3, 6) 。
(1, 2, 1, 3) 是不可行的，因为第一个和第三个骰子值相等且 abs(1 - 3) = 2 （下标从 1 开始表示）。
(1, 2, 3, 6) i是不可行的，因为 3 和 6 的最大公约数是 3 。
总共有 184 个不同的可行序列，所以我们返回 184 。
示例 2：

输入：n = 2
输出：22
解释：一些可行的序列为 (1, 2) ，(2, 1) ，(3, 2) 。
一些不可行的序列为 (3, 6) ，(2, 4) ，因为最大公约数不为 1 。
总共有 22 个不同的可行序列，所以我们返回 22 。

提示：
1 <= n <= 10⁴

记忆化搜索

记忆化搜索的状态表示：
vNext[i] 如果包括j，则gcd(i,j)为1；不包括则gcd(i,j)>1。i,j $\in$ [1,6]。如果i等于j，也不包括。
空间复杂度：O(7n)
记忆化搜索的转移方程：
dp[len][end] += $For_{next:vNext[end]}dp[len-1][next]$
要扣除：arr[len-2] 等于arr[len]
令 k $\in$ vNext[end]
则 { $\cdots$ end,k,end) 都需要排除。
那减去 dp[len-2][end] $\times$ vNext[end].size()
多减了： { $\cdots$ k, end,k,?) 这种状态是不存的。
需要再加上所有k对应的：dp[len-3][k] 。所有k对应的之和为dp[len-2][end]
len > 3 需要减去：
MemorySeach(len - 2, end) * m_vNext[end].size();
len > 4 需要加上：
MemorySeach(len - 2, end)

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int distinctSequences(int n) {		
		for (int i = 1; i <= 6; i++) {
			for (int j = 1; j <= 6; j++) {
				if ((1 == gcd(i, j))&&(i!=j)) {
					m_vNext[i].emplace_back(j);
				}
			}
		}
		m_ms.assign(n + 1, vector<C1097Int<>>(7));
		m_bHasDo.assign(n + 1, vector<bool>(7));
		m_ms[1].assign(7, 1);
		m_bHasDo[1].assign(7, true);
		C1097Int<> biRet = 0;
		for (int i = 1; i <= 6; i++) {
			biRet += MemorySeach(n, i);
		}
		return biRet.ToInt();
	}
	C1097Int<> MemorySeach(int len,int end) {
		auto& biRet = m_ms[len][end];
		if (m_bHasDo[len][end]) { return biRet; }
		m_bHasDo[len][end] = true;
		for (auto& next : m_vNext[end]) {
			biRet += MemorySeach(len - 1,next);
		}
		if (len > 2) {
			biRet -= MemorySeach(len - 2, end) * m_vNext[end].size();
		}
		if (len > 3) {
			biRet += MemorySeach(len - 2, end) ;
		}
		return biRet;
	}
	vector<vector<bool>> m_bHasDo;
	vector<vector<C1097Int<>>> m_ms;
	vector<int> m_vNext[7];
};

单元测试

template<class T1,class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1 , t2);
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());	
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{
	int m, n;
	vector<vector<int>> prices;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod0)
		{			
			auto res = Solution().distinctSequences(4);
			AssertEx(184,res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			auto res = Solution().distinctSequences(2);
			AssertEx(22, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			auto res = Solution().distinctSequences(1);
			AssertEx(6, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod3)
		{
			auto res = Solution().distinctSequences(3);
			AssertEx(66, res);
		}
	};
}

扩展阅读

视频课程

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