数学建模 —— 灰色系统（4）

什么是灰色系统？

客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。

一、灰色关联分析

1.1 灰色关联分析模型

根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。

灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾。它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。

1.2 灰色关联因素和关联算子集

1.2.1 灰色关联因素

（1）行为序列

（2）行为时间序列

（3）行为指标序列

（4）行为横向序列

1.2.2 关联算子集

（1）初值化算子

（2）均值化算子

（3）区间值化算子

（4）逆化算子

（5）倒数化算子

（6）关联因子空间

1.3 灰色关联公理与灰色关联度

1.3.1 灰色关联度

1.3.2 灰色关联度计算步骤

e.g.

clc, clear
a=[0.83	 0.90	0.99	  0.92	0.87	  0.95
326	 295	 340  287	310	  303
21	 38	     25	  19	 27	  10
3.2	2.4	     2.2   2.0	 0.9   1.7
0.20	0.25	    0.12   0.33 	0.20	  0.09
0.15	0.20	    0.14   0.09	0.15   0.17
250	180	    300	   200	150   175
0.23	0.15	    0.27   0.30	0.18   0.26
0.87	0.95	    0.99	   0.89	0.82	  0.94];
for i=[1 5:9]    %效益型指标标准化
    a(i,:)=(a(i,:)-min(a(i,:)))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));
end
for i=2:4  %成本型指标标准化
   a(i,:)=(max(a(i,:))-a(i,:))/(max(a(i,:))-min(a(i,:))); 
end
[m,n]=size(a);
cankao=max(a')'  %求参考序列的取值
t=repmat(cankao,[1,n])-a;  %求参考序列与每一个序列的差
mmin=min(min(t));   %计算最小差
mmax=max(max(t));  %计算最大差
rho=0.5; %分辨系数
xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax)  %计算灰色关联系数
guanliandu=mean(xishu)   %取等权重，计算关联度
[gsort,ind]=sort(guanliandu,'descend')  %对关联度按照从大到小排序

1.4 广义关联度

三种关联度矩阵往往得出因素排序结果不完全相同，主要是因为绝对关联矩阵计算出的绝对关联序是从绝对量的角度考虑，相对关联矩阵得出的相对关联序是相对于原始点变化速率的角度考虑，而综合关联序是综合绝对量和相对变化速率的角度考虑，实际应用中，只要考虑绝对关联序即可。

1.4.1 灰色绝对关联度

（1）预备知识

（2）始点零化算子

（3）序列长度

（4）灰色绝对关联度

e.g.

（5）等时距序列

（6）1时距化

（7）灰色绝对关联度性质

1.4.2 灰色相对关联度

（1）定义和计算

（2）性质

1.4.3 灰色综合关联度

（1）概述

（2）性质

二、优势分析

2.1 灰色关联矩阵

2.2 几类灰色关联矩阵

2.3 系统优势关系

2.4 因素优势关系

2.5 系统准优势关系

2.6 准优特征与准优因素

关联度名称	准优特征	准优因素
绝对关联度
相对关联度
综合关联度

三、生成数

灰色系统理论把一切随机量都看作灰色数—即在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰色数的处理不是找概率分布或求统计规律，而是利用数据处理的办法去寻找数据间的规律。通过对数列中的数据进行处理，产生新的数列，以此来挖掘和寻找数的规律性的方法，叫做数的生成。数的生成方式有多种：累加生成、累减生成以及加权累加等等。这里主要介绍累加生成。

3.1 累加生成数列

把数列 x 各时刻数据依次累加的过程叫做累加过程，记作AGO，累加所得的新数列，叫做累加生成数列。

特点：

一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。

四、灰色模型（GM模型）

灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型，而且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为灰色模型，记为GM（Grey Model），即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。