算法（十四）动态规划

算法概念

动态规划（Dynamic Programming）是一种分阶段求解的算法思想，通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（分治）的方式去解决。
动态规划中有三个重点概念：
最优子结构：按照最佳的方式进行拆分，用来描述问题状态与状态之间的关系；
边界：问题的边界区域，可以是除了最优子结构的其它区域；
状态转移公式（递推公式）dp方程：根据最优子结构和边界终结出来的方程。
优缺点：
优点：时间复杂度和空间复杂度都相当较低
缺点：难，有些场景不适用

算法例子

斐波那契数列

规律：从第3个数开始，每个数等于前面两个数的和。
在这里插入图片描述
分析得知：
if(i<2) 则 dp[0] = 0，dp[1] = 1;
if(i>=2) 则 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
所以：
最优子结构：fib[9] = fib[8] + fib[7]
边界：a[0] = 0; a[1] = 1
dp方程：fib[n] = fib[n-1] + fib[n-2]

实现代码如下：

package com.xxliao.algorithms.dynamic_programming;

/**
 * @author xxliao
 * @description: 利用动态规划实现
 * 斐波那契数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55.....
 * 规律：从第3个数开始，每个数等于前面两个数的和
 *
 * @date 2024/6/1 1:17
 */
public class Demo01 {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fib(9));
    }

    /**
     * @description  动态规划实现 斐波那契数列
     * @author  xxliao
     * @date  2024/6/1 1:23
     */
    public static int fib(int n) {
        // 定义当前数组，也就是0 ~ n 数组
        int[] array = new int[n+1];
        // 定义边界
        array[0] = 0;
        array[1] = 1;

        // if(i>=2) 则 	dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; dp方程
        int i = 2;
        for(; i <= n; i++){
            array[i] = array[i-1] + array[i-2];
        }
        return array[i-1]; // 循环结束加了1
    }
}