【放球问题】920. 播放列表的数量

本文涉及知识点

【组合数学隔板法容斥原理】放球问题

本题同解

【动态规划】【组合数学】【C++算法】920播放列表的数量

LeetCode 920. 播放列表的数量

你的音乐播放器里有 n 首不同的歌，在旅途中，你计划听 goal 首歌（不一定不同，即，允许歌曲重复）。你将会按如下规则创建播放列表：
每首歌至少播放一次。
一首歌只有在其他 k 首歌播放完之后才能再次播放。
给你 n、goal 和 k ，返回可以满足要求的播放列表的数量。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余的结果。
示例 1：
输入：n = 3, goal = 3, k = 1
输出：6
解释：有 6 种可能的播放列表。[1, 2, 3]，[1, 3, 2]，[2, 1, 3]，[2, 3, 1]，[3, 1, 2]，[3, 2, 1] 。
示例 2：
输入：n = 2, goal = 3, k = 0
输出：6
解释：有 6 种可能的播放列表。[1, 1, 2]，[1, 2, 1]，[2, 1, 1]，[2, 2, 1]，[2, 1, 2]，[1, 2, 2] 。
示例 3：
输入：n = 2, goal = 3, k = 1
输出：2
解释：有 2 种可能的播放列表。[1, 2, 1]，[2, 1, 2] 。
提示：
0 <= k < n <= goal <= 100

放球问题

我们将歌曲从0到n-1编号，假定（假定一）：遍号小的歌曲，先第一次播放。除第一次播放外，其它的播放无限制。
任何方案都可以分为两部分：前k个元素，假定是A,一定依次是0到k。后goal-k个元素我们假定是B。
现在来分析B：
将B的goal-k个元素，依次分到n-k个有序集合。第i个有序集合的元素播放第i首歌曲，含义如下：
一，首部元素，增加新歌。且序号是k+i。假定二
二，非首部元素，表示唱旧歌。除不能刚唱的k首外，序号第i小。
必须保证第i个集合的任意元素播放之前，B集合已经有i首新歌。约束一
下例就是违反约束一：
{2,3}{0,1} B的第0个元素，不可能是第1（从0开始）首新歌。
相同的集合，只有一种顺序符合约束一。
集合的首元素升序排序，第i个集合播放第i首歌曲。
显然这就是放球问题：
n-k个相同盒子，goal-k个不同的球，盒子不能为空。
注意：
假定一和假定二的新歌可以随意更换顺序，当新歌的顺序和方案确定后，旧歌曲的顺序也是确定的。故答案是：n! $\times$ 放球的方案数

代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

template<int MOD = 1000000007>
C1097Int<MOD> Pow(const C1097Int<MOD>& bi1, long long ii2) {
	return	bi1.pow(ii2);
}

template<class T >
class CFactorial
{
public:
	CFactorial(int n):m_res(n+1){
		m_res[0] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			m_res[i] = m_res[i - 1] * i;
		}
	}	
	T Com(int iSel, int iCanSel)const {
		return m_res[iCanSel] / m_res[iSel]/ m_res[iCanSel - iSel];
	}
	T Com(const vector<int>& cnt)const {
		T biRet = 1;
		int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);
		for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {
			biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);
			iCanSel -= cnt[j];
		}
		return biRet;
	}
	vector<T> m_res;
};

template<class T>
class CBallBox
{
public:
	CBallBox(int n,int m):m_iN(n),m_iM(m),m_fac(n+m){

	}
	T NotNotNot() {//球不同盒子不同不能为空
		return g(m_iM);
	}
	T NotIsNot() {//球不同盒子同不能为空
		return NotNotNot()/ m_fac.m_res[m_iM];
	}
	const int m_iM, m_iN;
protected:	
	T g(int m)const {
		T biRet;
		for (int i = 0; i <= m; i++) {	
			auto cur = m_fac.Com(i, m)  * Pow(T(m - i), m_iN);
			if (1 & i) {
				biRet -= cur;
			}
			else {
				biRet += cur;
			}
		}
		return biRet;
	}
	CFactorial<T> m_fac;
};

class Solution {
public:
	int numMusicPlaylists(int n, int goal, int k) {
		CBallBox<C1097Int<>> ballBox(goal - k, n - k);
		C1097Int<> biRet = ballBox.NotIsNot();
		CFactorial<C1097Int<>> fac(n);
		biRet *= fac.m_res[n];
		return biRet.ToInt();
	}
};

扩展阅读

视频课程

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