K-means 聚类模型详解

K-means 是一种常用的无监督学习算法，用于将数据集分成 K 个簇。其目标是最小化各个簇内数据点到簇中心的距离平方和。K-means 广泛应用于图像压缩、市场细分、模式识别等领域。

算法步骤

1. 初始化: 随机选择 K 个初始簇中心（质心）。
2. 分配: 将每个数据点分配给距离最近的簇中心。
3. 更新: 重新计算每个簇的质心。
4. 重复: 重复步骤 2 和 3，直到簇中心不再变化或达到预设的迭代次数。

公式推导

目标函数: 最小化各个簇内的平方误差和（Sum of Squared Errors, SSE）。

设 ( X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } ) ( X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} ) (X={x1​,x2​,...,xn​}) 为数据集， $ C = {c_1, c_2, …, c_K} $ 为簇中心， $S_i $ 为第 i 个簇中的数据点集合。目标函数为：
$$J=\sum _{i=1}^K\sum _{x\in S_i}\Vert x-c_i{\Vert }^2$$

其中，$\Vert x-c_i\Vert$​ 表示数据点 $x$ 到簇中心 $ c_i $ 的欧氏距离。

算法步骤

步骤 1: 初始化 C = { c 1 , c 2 , . . . , c K } C = \{c_1, c_2, ..., c_K\} C={c1​,c2​,...,cK​}（随机选择 K 个数据点作为初始簇中心）。

步骤 2: 对每个数据点 $ x_j $​，分配到最近的簇中心：
S i = { x j : ∥ x j − c i ∥ 2 ≤ ∥ x j − c k ∥ 2 , ∀ k , 1 ≤ k ≤ K } S_i = \{x_j : \|x_j - c_i\|^2 \leq \|x_j - c_k\|^2, \forall k, 1 \leq k \leq K\} Si​={xj​:∥xj​−ci​∥2≤∥xj​−ck​∥2,∀k,1≤k≤K}
步骤 3: 重新计算每个簇的簇中心：
$$c_i=\frac{1}{|S_i|}\sum _{x\in S_i}x$$

步骤 4: 重复步骤 2 和 3，直到簇中心不再变化。

运用示例

下面是一个使用 K-means 算法进行数据聚类的 Python 示例，使用 sklearn 库。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

# 生成示例数据
X, y = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42, cluster_std=0.60)

# 可视化数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.title("Generated Data")
plt.show()

# 使用 K-means 进行聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=4)
kmeans.fit(X)
y_kmeans = kmeans.predict(X)

# 获取簇中心
centers = kmeans.cluster_centers_

# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_kmeans, s=50, cmap='viridis')
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', s=200, alpha=0.75, marker='X')
plt.title("K-means Clustering")
plt.show()

解释

1. 生成数据: 使用 make_blobs 生成 300 个样本点，分成 4 个簇，标准差为 0.60。
2. 可视化数据: 使用 plt.scatter 绘制生成的数据。
3. K-means 聚类: 创建 KMeans 对象，设置簇数为 4，并拟合数据。
4. 获取聚类结果: 使用 predict 方法获取每个数据点的簇标签。
5. 获取簇中心: 使用 cluster_centers_ 属性获取簇中心坐标。
6. 可视化聚类结果: 绘制聚类后的数据点，并标记出簇中心。

优缺点

优点:

• 简单易理解，实现和解释都很直观。
• 计算效率高，适用于大规模数据集。

缺点:

• 需要预先指定簇的数量 $K$。
• 对初始值敏感，不同的初始值可能导致不同的结果。
• 适用于球形簇，不适用于非球形簇或密度不均匀的簇。

总结

K-means 是一种高效的聚类算法，通过迭代优化簇内距离平方和实现数据的自动分组。尽管有一些限制，如需要预先指定簇数和对初始值敏感，但在许多实际应用中仍然非常有用。通过结合实际数据集进行聚类分析，可以更好地理解数据的结构和模式。