【算法】前缀和—

【算法】前缀和——前缀和

本题主要用一个模板题目来说明前缀和的基本思想，有需要借鉴即可。

1.题目

题目链接：LINK
在这里插入图片描述

这个题目可以用暴力求解的思路来做的，只不过时间复杂度是O(N*Q)…

我们这里不谈暴力求解的思路，来介绍一种新的方法——前缀和。
我感觉前缀和方法本质上是一种用空间换时间的思路。

2.前缀和

2.1题目分析

暴力求解：题目要求我们求[l,r]区间的数字之和，我们暴力求解无非就是累加，sum = arr[l] + arr[l + 1] + … + arr[r]，显然有q次求值，时间复杂度就成了O(N*Q)，然后就时间复杂度太高了

暴力时间复杂度高的原因：但是暴力求解时间复杂度高的原因我们仔细想一想就不难发现，说白了就做了大量之前得出的和之后却一次一次又重新进行计算。

想法：所以我们根据以空间换时间的思想，只要把可能用到的和存一下，方便下一次用就行了。

2.2前缀和算法

第一步，先预处理一个前缀数组

比如说，题目给我们如下数组：
在这里插入图片描述
那我们可以搞一个前缀和数组，这个前缀和数组的i下标对应的值是arr数组[1,i]区间值的和。
这样直接遍历一遍arr就可以得到这个前缀和数组了：

第二步，由题计算得结果

题目要求我们给的是[l,r]这个区间的和，但是我们有的是[1,l-1],[1,l],[1,r]区间的和，其实我们给他做个差就能得到结果了，即：sum[l,r] = sum[1,r] - sum[1,l-1];

这个地方因为用到了l-1下标，为了防止出现0 - 1 = -1(-1下标对数组不存在)的情况，所以我们整体存值的时候把数组每个元素往前移动一个就行，把0位置空出来，0位置处置为0即可。当然，这个地方也可以做特殊判断来进行处理。

3.代码示例

#include <iostream>
using namespace std;

int main() 
{
    //读取数据
    size_t n = 0, q = 0;
    cin >> n >> q;
    long arr[n + 1];
    arr[0] = 0;
    for(size_t i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }

    //创建前缀和数组
    long summary[n + 1];   
    //求前缀和
    summary[0] = 0;
    for(size_t i = 1; i <= n; i++)
    {
        summary[i] = summary[i - 1] + arr[i];
    }

    //输出结果
    while(q--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << (summary[r] - summary[l - 1]) << endl;
    }
    
    return 0;
}