概率分布函数与误差函数的关系

article2024/11/23 23:52:18/文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_60819724/article/details/139265902

正态函数（高斯分布）

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi a^{2}}}e^{-\frac{\left(x-b\right)^{2}}{2a^{2}}}$

对其求[b,x]区间的积分

$y=\int_{b}^{x}f\left(t\right)dt$

标准误差函数

$y=erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$

以下两个方程相等（a,b取值任意）

$\int_{b}^{x}f\left(t\right)dt=\frac{\operatorname{erf}\left(\frac{x-b}{\sqrt{2}\cdot\left|a\right|}\right)}{2}$

两个函数重合

可知正态函数 f(t) 在[b,x]的区间上积分等于 $\frac{\operatorname{erf}\left(\frac{x-b}{\sqrt{2}\cdot\left|a\right|}\right)}{2}$

引用desmos计算器：Desmos | Let's learn together.

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