Secure Summation Operation

让我们通过一个具体的例子来说明这个算法。

假设有三个数据拥有者 S1, S2 和 S3，他们分别持有以下值：

• S1 持有 value1 = 10
• S2 持有 value2 = 20
• S3 持有 value3 = 30

在正式开始安全求和操作之前，每对数据拥有者 Si 和 Sj (i < j) 需要事先秘密协商一个随机数 sci,j。假设他们协商的随机数如下：

• S1 和 S2 协商 sci,j = sc1,2 = 5
• S1 和 S3 协商 sci,j = sc1,3 = -3
• S2 和 S3 协商 sci,j = sc2,3 = 4

接下来，每个数据拥有者根据公式 perturb 自己的值：（加上比自己大的id的协商值，减去比自己小的协商值）

对于 S1:

• value′1 = value1 + (sc1,2 + sc1,3) - 0 = 10 + (5 + (-3)) - 0 = 10 + 2 = 12

对于 S2:

• value′2 = value2 + sc2,3 - sc1,2 = 20 + 4 - 5 = 20 - 1 = 19

对于 S3:

• value′3 = value3 - (sc1,3 + sc2,3) = 30 - ((-3) + 4) = 30 - 1 = 29

然后，每个数据拥有者将 perturb 后的值发送给空间数据联合体：

• S1 发送 value′1 = 12
• S2 发送 value′2 = 19
• S3 发送 value′3 = 29

最后，空间数据联合体将这些值相加，得到最终结果：

• 最终结果 = value′1 + value′2 + value′3 = 12 + 19 + 29 = 60

我们可以验证这个结果是否等于原始值的和：

• 原始值的和 = value1 + value2 + value3 = 10 + 20 + 30 = 60

通过这种方式，算法在保证数据隐私的前提下，成功地计算出了多个数据拥有者的值的和。

Secure Set Union Operation

让我们通过一个具体的例子来说明这个算法。

假设有三个数据拥有者 S1, S2 和 S3，他们分别持有以下数据集：

• S1 的数据集 set1 = {1, 2, 3}
• S2 的数据集 set2 = {3, 4, 5}
• S3 的数据集 set3 = {5, 6, 7}

首先，每个数据拥有者生成一个随机集：

• S1 生成 rset1 = {8, 9}
• S2 生成 rset2 = {10, 11}
• S3 生成 rset3 = {12, 13}

接下来，按照算法的步骤进行：

1. S1 计算 tset1 = set1 ∪ rset1 = {1, 2, 3} ∪ {8, 9} = {1, 2, 3, 8, 9}，并将 tset1 发送给 S2。
2. S2 计算 tset2 = tset1 ∪ set2 ∪ rset2 = {1, 2, 3, 8, 9} ∪ {3, 4, 5} ∪ {10, 11} = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11}，并将 tset2 发送给 S3。
3. S3 计算 tset3 = tset2 ∪ set3 ∪ rset3 = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11} ∪ {5, 6, 7} ∪ {12, 13} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}，并将 tset3 发送给 S1。

然后，开始第二轮操作：

1. S1 计算 tset1 = tset3 − rset1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} − {8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13}，并将 tset1 发送给 S2。
2. S2 计算 tset2 = tset1 − rset2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13} − {10, 11} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13}，并将 tset2 发送给 S3。
3. S3 计算 tset3 = tset2 − rset3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13} − {12, 13} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，并将 tset3 发送给 S1。

最后，S1 将 tset3 提交给空间数据联合体。此时，tset3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，它等于 set1, set2 和 set3 的并集。

通过这种方式，算法在保证数据隐私的前提下，成功地计算出了多个数据拥有者的集合并集。