• 实验目的：

1. 掌握正交试验设计记号的意义；
2. 掌握正交试验设计的直观分析和方差分析；
3. 掌握一元线性回归模型的相关概念；
4. 掌握最小二乘法的思想；
5. 掌握一元线性回归方程的显著性检验和预测。

• 实验内容：

１.某良种繁殖场为了提高水稻产量，制定试验的因素如下表所示。选择L9(34) 正交表安排试验，假定9次试验相应的产量y为（单位：kg/100m2）

62.925  57.075  51.6  55.05  58.05  56.55  63.225  50.7  54.45

如何安排最优生产条件？

水稻的试验因素水平表

因素	水平
	1	2	3
A品种	窄叶青8号	南二矮5号	珍珠矮11号
B密度	4.50棵/100m2	3.75棵/100m2	3.00棵/100m2
C施肥量	0.75kg/100m2	0.375kg/100m2	1.125kg/100m2

解：L9(34) 正交表如下。

列号 试验号	1	2	3
	A	B	C
1	1	1	1
2	1	2	2
3	1	3	3
4	2	1	2
5	2	2	3
6	2	3	1
7	3	1	3
8	3	2	1
9	3	3	2

按L9(34) 正交表，设计表头如下，并按此9个正交方案进行试验。最终将产量汇总到最后一列。

列号 试验号	1	2	3	产量y
	A	B	C
1	1（窄叶青8号）	1（4.50棵/100m2）	1（0.75kg/100m2）	62.925
2	1（窄叶青8号）	2（3.75棵/100m2）	2（0.375kg/100m2）	57.075
3	1（窄叶青8号）	3（3.00棵/100m2）	3（1.125kg/100m2）	51.6
4	2（南二矮5号）	1（4.50棵/100m2）	2（0.375kg/100m2）	55.05
5	2（南二矮5号）	2（3.75棵/100m2）	3（1.125kg/100m2）	58.05
6	2（南二矮5号）	3（3.00棵/100m2）	1（0.75kg/100m2）	56.55
7	3（珍珠矮11号）	1（4.50棵/100m2）	3（1.125kg/100m2）	63.225
8	3（珍珠矮11号）	2（3.75棵/100m2）	1（0.75kg/100m2）	50.7
9	3（珍珠矮11号）	3（3.00棵/100m2）	2（0.375kg/100m2）	54.45

（1）直观分析的R语言实现

代码：

output <- data.frame(

  A = gl(3, 3), #按正交表中列号为1的一列数据生成因子

  B = gl(3, 1, 9), #按正交表中列号为2的一列数据生成因子

  C = factor(c(1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2)), #按正交表中列号为3的一列数据生成因子

  Y = c(62.925, 57.075, 51.6, 55.05, 58.05, 56.55, 63.225, 50.7, 54.45)

)

kA <- with(output, tapply(Y, A, mean)) #因素A每个水平的产量的均值

kB <- with(output, tapply(Y, B, mean))

kC <- with(output, tapply(Y, C, mean))

k <- c(kA, kB, kC)

plot(k, axes = F, xlab = "Level", ylab = "Output") #axes=F表示不画坐标轴

xmark <- c(NA, "A1", "A2", "A3" , "B1", "B2", "B3", "C1", "C2" , "C3", NA)

axis(side = 1, 0:10, labels = xmark)

axis(side = 2, seq(50,65,by=2))

axis(side = 3, 0:10, labels = xmark)

axis(side = 4, seq(50,65,by=2))

lines(kA)

lines(4:6, kB)

lines(7:9, kC)

运行结果：

结论：

从图中可以看出极差的排序为__密度＞施肥量＞品种__________________，

说明____密度_____和___施肥量_____是产量y的关键影响因素；

_____试验7_____是比较好的水平组合，说明_______密度________________是最优的生产条件。

（2）利用aov()函数和summary()函数，完成正交试验的方差分析

提出假设：

H01：因素A（品种）的三个水平对产量y的影响无显著差异。

H02：因素B（密度）的三个水平对产量y的影响无显著差异。

H03：因素C（施肥量）的三个水平对产量y的影响无显著差异。

代码：

# 进行方差分析

Output.aov <- aov(Y ~ A * B * C, data = output)

# 打印方差分析结果摘要

summary(Output.aov)



结果：

> Output.aov <- aov(Y ~ A + B + C, data = output)

> # 打印方差分析结果摘要

> summary(Output.aov)

            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

A            2   1.76    0.88   0.022  0.978

B            2  65.86   32.93   0.836  0.545

C            2   6.66    3.33   0.085  0.922

Residuals    2  78.78   39.39  

结论：

因数A（品种）P值＞0.05，因此拒绝原假设，即品种对产量的影响有显著差异；

因数B（品种）P值＞0.05，因此拒绝原假设，即品种对产量的影响有显著差异；

因数C（品种）P值＞0.05，因此拒绝原假设，即品种对产量的影响有显著差异；

２.（习题8.1修改）为估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立一个观测站，测量最大积雪深度X（米）与当年灌溉面积Y（公顷），测得连续10年的数据如下表所示（数据存放在snow.data文件中）。

(1) 画出X和Y的散点图；

(2) 建立一元线性回归模型，求解，并验证回归系数、回归方程或相关系数的平方是否通过检验；

(3) 如果 (2) 中检验通过，画出回归直线；

(4) 计算回归系数β0和β1的95%的置信区间；

(5) 现测得今年的数据是X = 7米，给出今年灌溉面积的预测值、预测区间和置信区间（α = 0.05）。

10年中最大积雪深度与当年灌溉面积的数据

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	5.1	3.5	7.1	6.2	8.8	7.8	4.5	5.6	8.0	6.4
Y	1907	1287	2700	2373	3260	3000	1947	2273	3113	2493

解：

(1) 画出X和Y的散点图。

代码及运行结果：

Snow<-read.table("C:\\Users\\黄培滇\\Desktop\\R语言生物统计学\\chap08\\snow.data",header = T)

plot(Snow$X,Snow$Y,main = "最大积雪深度与当年灌溉面积散点图",xlab = "最大积雪深度",ylab = "灌溉面积")

(2) 利用lm()函数和summary()函数，完成模型的求解和相关的显著性检验。

代码及运行结果：

model<-lm(Y~X,data = Snow)

summary(model)

Call:

lm(formula = Y ~ X, data = Snow)

Residuals:

     Min       1Q   Median       3Q      Max

-128.591  -70.978   -3.727   49.263  167.228

Coefficients:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    

(Intercept)   140.95     125.11   1.127    0.293    

X             364.18      19.26  18.908 6.33e-08 ***

---

Signif. codes:  

0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 96.42 on 8 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.9781, Adjusted R-squared:  0.9754

F-statistic: 357.5 on 1 and 8 DF,  p-value: 6.33e-08

(3) 如果 (2) 中检验通过，利用abline()函数画出回归直线。

abline(model,col = "blue")

(4) 利用confint()函数列出回归系数β0和β1的95%的置信区间

> confint(model)

                2.5 %   97.5 %

(Intercept) -147.5587 429.4660

X            319.7671 408.5969

(5) 利用predict.lm()函数根据X = 7米，给出今年灌溉面积的预测值、预测区间和置信区间

 new_data <- data.frame(X = 7)

>

> # 预测值、预测区间和置信区间

> predict <- predict(model, newdata = new_data, interval = "prediction", level = 0.95)

> confidence <- predict(model, newdata = new_data, interval = "confidence", level = 0.95)

>

> # 打印结果

> print(paste("预测值：", predict[1]))

[1] "预测值： 2690.22737430168"

> print(paste("预测区间：", predict[2], "-", predict[3]))

[1] "预测区间： 2454.97085562902 - 2925.48389297433"

> print(paste("置信区间：", confidence[2], "-", confidence[3]))

[1] "置信区间： 2613.34979603101 - 2767.10495257234"

思考：

记号 L9(34) 中，“L”代表__正交表____，用这张表进行试验设计，最多可以安排__3__个因素、每个因素取___4__个水平，一共做__9____次试验。如果不做正交试验设计，需要做_____64___次试验。

正交试验表有两个主要的特点？

正交试验表有两个主要的特点：1试验次数较少，分析方便；

2水平之间差异明显，容易找出最优方案。

按正交试验设计的方案进行生产实践后，对得到的数据结果，通常有哪两种方法进行分析，确定最佳生产条件？

直观分析法

方差分析法

一元线性回归方程回归系数的计算（点估计）采用的是什么方法？

最小二乘法

最小二乘估计要求随机误差ε满足：其期望为___0____，方差___相等___（相等还是不相等）。

一元线性回归模型的计算，分别需要用到的lm()函数、summary()函数、confint()函数和predict()函数，其中__lm()___函数是最主要的函数，其余函数都要用到它生成的对象。事实上，多元线性回归模型也是如此。