上一节，我们找到了一种控制线圈合成磁矢量的方法— SVPWM，但是仅停留在逻辑层面上。本节对SVPWM进行数学推导，给出最终的线圈控制函数。本节的目标为找到一个函数，输入目标线圈磁矢量，输出三相桥臂的pwm占空比。目标磁矢量可以有两种表示方式，一种是极坐标，一种是 笛卡尔坐标。
极坐标形式：
$$(D_u,D_v,D_w)\leftarrow svpwm(\theta :磁矢量方向,s:磁矢量强度)$$
电机转子旋转靠的是切向受力，在极坐标形式下，磁矢量方向和磁矢量强度都会对切向分力有影响，存在耦合问题，以后难以进行电机控制，因此可以将磁矢量表达方式改为笛卡尔坐标，将磁矢量解耦为切向和直向。
笛卡尔坐标形式：
$$(D_u,D_v,D_w)\leftarrow svpwm(d:磁矢量直向强度,q:磁矢量切向强度)$$
由于极坐标形式下的推导非常简单清晰，因此本节先按照极坐标形式进行推导，形成大致的概念，再按照笛卡尔坐标形式进行推导。
本节推导过程不考虑物理单位，将各类数值归一化，比如扇区6个基础矢量长度视为1，pwm周期视为1，磁矢量强度最大为1，以后在推导结果上再乘物理量即可。

线性调制区

回顾上节的SVPWM扇区图，在此将坐标系建立在扇区图中心，扇区图中有6个基础矢量：

从图中可以看出，线圈磁矢量可以落在在扇形范围内任意位置，但是有一个问题，线圈磁矢量强度最大值不恒定，意味着电机转一圈的力矩有波动。所以我们将线圈磁矢量的范围限制为扇形内切圆，人为降低一些线圈磁矢量能达到的最大强度，让电机转动时力矩可以保持恒定，这称为线性调制（非线性过调制不在本文范围内）。

扇区pwm计算

从扇区图可知，如果目标线圈磁矢量落在扇区1，需要用pwm混合情况1和情况2；如果目标线圈磁矢量落在扇区2，需要用pwm混合情况2和情况3。同理，每个扇区都需要独立计算（你可能会想，为什么不把扇区1和扇区2合并起来用情况1和情况3进行混合？实际上这样混合出来的磁矢量强度较低）。
以扇区1的计算为例：
考虑到线性调制，线圈磁矢量最大强度为扇区内切圆半径，由于6个基础矢量长度为1，因此内切圆半径等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
以下计算过程先按照线圈磁矢量最大强度进行，最后将占空比乘上强度系数就可以实现强度控制。

根据正弦定理可得：
$$\frac{t_1}{sin60^{\circ }-\theta }=\frac{t_2}{sin\theta }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin120^{\circ }}$$
得到基础矢量的占空比$t_1$和$t_2$：
$$t_1=\sin (60^{\circ }-\theta )，t_2=\sin \theta \text{\hspace{1em}(1-1)}$$
注意，式(1-1)得到的占空比是基础矢量的在一个周期内的比例（权重），桥臂的占空比后续再计算。
其余扇区的几何形状与扇区1是相同的，比如扇区2的计算只需在式(1-1)的基础上将$\theta$减去60°。把扇区顺时针方向的基础矢量记号为$m$，逆时针方向的基础矢量记号为$n$，结果为：

表(1-1)

扇区号	基础矢量占空比
1	$t_m=\sin (60^{\circ }-\theta )，t_n=\sin (\theta -0^{\circ })$
2	$t_m=\sin (120^{\circ }-\theta )，t_n=\sin (\theta -60^{\circ })$
3	$t_m=\sin (180^{\circ }-\theta )，t_n=\sin (\theta -120^{\circ })$
4	$t_m=\sin (240^{\circ }-\theta )，t_n=\sin (\theta -180^{\circ })$
5	$t_m=\sin (300^{\circ }-\theta )，t_n=\sin (\theta -240^{\circ })$
6	$t_m=\sin (360^{\circ }-\theta )，t_n=\sin (\theta -300^{\circ })$

总结：$t_m=\sin (扇区号\ast 60^{\circ }-\theta )，t_n=\sin (\theta -(扇区号\ast 60^{\circ }-60^{\circ }))$
以上均是按照线圈磁矢量最大强度计算得到的结果，要控制磁矢量强度，再乘上强度系数$s$即可。
在此重复提醒，上面这张表有什么用？意思是目标线圈磁矢量落在哪个扇区，合成时就使用哪个扇区的基础矢量占空比结果。举例：目标线圈磁矢量角度是170°，强度是$s$，属于落在第3扇区，那么在一个周期内，给情况3分配$s\ast \sin (180^{\circ }-\theta )$比例，给情况4分配$s\ast \sin (\theta -120^{\circ })$比例，剩下的比例分配给零矢量，即可得到目标线圈磁矢量。

桥臂pwm计算

上部分我们获得了基础矢量的比例，我们的最终目标还是桥臂mos管占空比。
在一个周期内，分配完基础矢量后，剩下时间$t_0=1-t_m-t_n$是分配给零矢量的。以扇区1为例，写成表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{D}_u\\ D_v\\ D_w\end{array}\right]=t_1\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+t_2\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t_0\ast 零矢量桥臂$$
零矢量的选择：
111和000两种桥臂状态都可以产生零矢量，应该怎么安排呢？如果一个周期内零矢量由111和000平分，这称为七段式SVPWM。如果一个周期内零矢量只有一种，这称为五段式SVPWM。五段式SVPWM比七段式SVPWM电流谐波更大，但是mos管开关次数更少。五段式SVPWM有各种各样的矢量分配顺序和零矢量选择方法，难度较大。这里只选择七段式SVPWM。

不同扇区只需要更改不同的基础矢量即可，再乘上强度系数$s$，6个扇区的三相桥臂占空比为：
$$\left[\begin{array}{c}{D}_u\\ D_v\\ D_w\end{array}\right]=s\ast t_m\ast \vec{m}+s\ast t_n\ast \vec{n}+\frac{t_0}{2}\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1-2)}$$
其中，$t_0=1-t_m-t_n$，以及：

表(1-2)

扇区号	$\vec{m}$和$\vec{n}$的值
1	$\vec{m}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]，\vec{n}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$
2	$\vec{m}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]，\vec{n}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$
3	$\vec{m}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]，\vec{n}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$
4	$\vec{m}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]，\vec{n}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
5	$\vec{m}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]，\vec{n}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
6	$\vec{m}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]，\vec{n}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

至此，将表(1-1)代入式(1-2)，我们得到了svpwm函数，输入为线圈磁矢量角度$\theta$和强度$s$，输出为$D_u,D_v,D_w$。

纯c语言代码验证

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.14159265358979323846
#define deg_to_rad(a) (PI * (a) / 180)

typedef struct duty
{
    float d_u;
    float d_v;
    float d_w;
} duty_t;

/**
 * @brief 极坐标系下的svpwm
 *
 * @param theta 目标磁矢量角度
 * @param s 目标磁矢量强度
 * @return duty_t 三相桥臂占空比
 */
duty_t svpwm(float theta, float s)
{
    const float rad60 = deg_to_rad(60);
    const int v[6][3] = {{1, 0, 0}, {1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 1, 1}, {0, 0, 1}, {1, 0, 1}};
    int sector = 1 + theta / rad60;
    float t_m = s * sinf(sector * rad60 - theta);
    float t_n = s * sinf(theta - (sector * rad60 - rad60));
    float t_0 = 1 - t_m - t_n;

    duty_t duty;
    duty.d_u = t_m * v[sector - 1][0] + t_n * v[(sector) % 6][0] + t_0 / 2;
    duty.d_v = t_m * v[sector - 1][1] + t_n * v[(sector) % 6][1] + t_0 / 2;
    duty.d_w = t_m * v[sector - 1][2] + t_n * v[(sector) % 6][2] + t_0 / 2;
    return duty;
}

int main()
{
    for (float phi = 0; phi < 360; phi += 10)
    {
        // 这里我设置磁矢量与转子垂直，这样转子受力最大
        duty_t duty = svpwm(deg_to_rad(fmodf(phi + 90, 360)), 1);
        printf("%f,%f,%f,\r\n", duty.d_u, duty.d_v, duty.d_w);
    }
    return 0;
}

将运行结果用折线图绘制出来，可以看到三相桥臂占空比结果，将占空比设置给单片机的pwm产生器就可以控制电机旋转了：

目标磁矢量为笛卡尔坐标系形式的推导

上述推导的目标磁矢量形式为极坐标形式，但是磁矢量方向和磁矢量强度都会对转子切向分力产生影响，存在耦合问题，可以把磁矢量分解到转子的直向和切向进行解耦合，方便以后对转子切向单独进行强度控制（电机旋转只关注转子切向强度就可以了）。
$\alpha$轴，$\beta$轴，d轴，q轴：
$\alpha$轴和 $\beta$轴就是svpwm扇区图的xy坐标系轴，以后用词将混用$\alpha$轴和x轴、$\beta$轴和y轴。
d（direct，直接）轴与转子磁矢量平行，q（quadrature，正交）轴与转子磁矢量垂直。这两个轴很好理解，电机旋转靠的是转子切向受力（q轴），任何一个力都可以被分解到转子的直向和切向，也就是被分解到d轴和q轴。
按照笛卡尔坐标系形式，svpwm函数输入改为d、q轴的强度：
$$(D_u,D_v,D_w)\leftarrow svpwm(d,q)$$
在下面的推导之前，你可能会想，直接把磁矢量d、q数值转换到极坐标$\theta$、$s$，然后代入极坐标形式的svpwm函数不就好了，根本用不着下面复杂的推导？实际上，笛卡尔坐标转换到极坐标需要计算$\arctan$和变量开根号，计算耗时更大一些。如果觉得下面的推导太麻烦，而不介意计算耗时，这里提供直接的转换公式：$\theta =atan2(q,d)-{\varphi }_{转子角度}，s=\sqrt{d^2+q^2}$。
注意，转子角度$\varphi$可从电机编码器获取。
park变换：
在本小节的方法下，所有的矢量都在xy坐标系内，最好统一用xy坐标（=$\alpha$轴和 $\beta$轴）表示，因此d、q轴需要转换到$\alpha$轴和 $\beta$轴。

从图中可以看出，d、q轴旋转$\varphi$角后与$\alpha$轴、 $\beta$轴相等，写成表达式为：
$$\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}d\\ q\end{array}\right]$$
上面这个表达式就是反park变换。正park变换就是$\alpha$轴、 $\beta$轴转换到d、q轴，以后电流采样部分会用到。
扇区pwm：
到此，我们计算得到了线圈磁矢量的xy坐标，接下来就可以计算扇区pwm了。表(1-1)是我们已经计算过的，表(1-1)中的$\theta$是磁矢量角度，与极坐标形式不同的是，笛卡尔坐标系形式的磁矢量并未给定$\theta$，根据xy坐标的定义，已知的是$\cos \theta =\alpha ,\sin \theta =\beta$，因此对表(1-1)的结果进行展开，得到：
$$t_m=\sin (扇区号\ast 60^{\circ })\ast \alpha -\cos (扇区号\ast 60^{\circ })\ast \beta ，t_n=\beta \ast \cos (扇区号\ast 60^{\circ }-60^{\circ })-\alpha \ast \sin (扇区号\ast 60^{\circ }-60^{\circ })$$
扇区号计算：
极坐标形式的磁矢量是给定了角度的，因此根据角度数值可以直接判别出磁矢量落在了哪个扇区，而笛卡尔坐标系形式的磁矢量只有给定的d、q轴数值以及推导得出的x、y轴数值，并不能直接判断出落在了哪个扇区。
第一个想法就是参考编程常见的atan2(y,x)函数，直接根据得出的角度判断落在了哪个扇区。但是我们可以进行优化，不必计算atan这个耗时操作。
先对各个扇区现有参数进行整理：

扇区号	$\alpha$	$\beta$	$\arctan \to$	$\frac{\beta }{\alpha }$
1	>0	>0	$0^{\circ }<\arctan \frac{\beta }{\alpha }<60^{\circ }\to$	$0<\frac{\beta }{\alpha }<\sqrt{3}$
2	不定	>0	$60^{\circ }<\arctan \frac{\beta }{\alpha }<120^{\circ }\to$	$|\frac{\beta }{\alpha }|>\sqrt{3}$
3	<0	>0	$120^{\circ }<\arctan \frac{\beta }{\alpha }<180^{\circ }\to$	$-\sqrt{3}<\frac{\beta }{\alpha }<0$
4	<0	<0	$180^{\circ }<\arctan \frac{\beta }{\alpha }<240^{\circ }\to$	$0<\frac{\beta }{\alpha }<\sqrt{3}$
5	不定	<0	$240^{\circ }<\arctan \frac{\beta }{\alpha }<300^{\circ }\to$	$|\frac{\beta }{\alpha }|>\sqrt{3}$
6	>0	<0	$300^{\circ }<\arctan \frac{\beta }{\alpha }<360^{\circ }\to$	$-\sqrt{3}<\frac{\beta }{\alpha }$

仔细看上表数据，我们发现可以通过一个一个的条件逐渐将6个扇区分开，条件分叉后实际上形成了以下这棵二叉树：

可以看到每个叶子节点的路径总值都不一样，因此可以据此分类，形成表达式即为：
设$A=bool(\beta >0),B=bool(\beta >\sqrt{3}\ast |\alpha |),C=bool(\alpha >0)$，
令$K=4\ast A+2\ast B+C$，有如下映射关系：

K=	000b=0	001b=1	010b=2	011b=3	100b=4	101b=5	110b=6	111b=7
扇区号=	4	6	5	5	3	1	2	2

至此，扇区号计算完成，没有用到耗时的atan函数，甚至连浮点数除法都没有用到。
桥臂pwm：
桥臂pwm我们已经在笛卡尔坐标形式的磁矢量中计算过了，由于笛卡尔坐标系下的磁矢量不给定强度$s$，将式(1-2)去掉强度$s$即为此处的桥臂pwm表达式。
纯c语言代码验证：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
#define PI 3.14159265358979323846
#define SQRT3 1.73205080756887729353
#define deg_to_rad(a) (PI * (a) / 180)
typedef struct duty
{
    float d_u;
    float d_v;
    float d_w;
} duty_t;

/**
 * @brief 笛卡尔坐标系下的svpwm
 *
 * @param phi 转子角度
 * @param d d轴强度单位比例
 * @param q q轴强度单位比例
 * @return duty_t 三相桥臂占空比
 */
duty_t svpwm(float phi, float d, float q)
{
    const float rad60 = deg_to_rad(60);
    const int v[6][3] = {{1, 0, 0}, {1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 1, 1}, {0, 0, 1}, {1, 0, 1}};
    const int K_to_sector[] = {4, 6, 5, 5, 3, 1, 2, 2};
    float cos_phi = cosf(phi);
    float sin_phi = sinf(phi);
    float alpha = cos_phi * d - sin_phi * q;
    float beta = sin_phi * d + cos_phi * q;

    bool A = beta > 0;
    bool B = beta > SQRT3 * fabs(alpha);
    bool C = alpha > 0;

    int K = 4 * A + 2 * B + C;
    int sector = K_to_sector[K];

    float t_m = sin(sector * rad60) * alpha - cos(sector * rad60) * beta;
    float t_n = beta * cos(sector * rad60 - rad60) - alpha * sin(sector * rad60 - rad60);
    float t_0 = 1 - t_m - t_n;

    duty_t duty;
    duty.d_u = t_m * v[sector - 1][0] + t_n * v[(sector) % 6][0] + t_0 / 2;
    duty.d_v = t_m * v[sector - 1][1] + t_n * v[(sector) % 6][1] + t_0 / 2;
    duty.d_w = t_m * v[sector - 1][2] + t_n * v[(sector) % 6][2] + t_0 / 2;
    return duty;
}

int main()
{
    for (float phi = 0; phi < 360; phi += 10)
    {
        duty_t duty = svpwm(deg_to_rad(phi), 0, 1);
        printf("%f,%f,%f,\r\n", duty.d_u, duty.d_v, duty.d_w);
    }
    return 0;
}

结束

从代码上可以看到，极坐标形式的svpwm计算量更小。如果后续只考虑电机开环控制，可选择极坐标形式的svpwm；如果后续考虑更高级的电机控制，需要将磁矢量解耦到转子的直轴（直向）和交轴（切向）。
经过本节的推导，我们得到了磁矢量的生成函数，也就是说我们可以随意控制电机转子的受力了，接下来就有能力对电机进行角度（位置）、速度、力矩控制了。