指数分布的理解，推导与应用

指数分布的定义

在浙大版的教材中，指数分布的定义如下：
若连续型的随机变量 $X$ 的概率密度为：
$\begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & \text{x>0}\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
其中 $\theta>0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\theta$ 的指数分布，其中 $\theta$ 的含义是事件发生的时间间隔

需要特别注意的是在考研大纲中的形式如下：
$\begin{cases} \lambda e^{-\lambda{x}}, & x \geq 0\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
其中 $\lambda$ 为每单位时间发生该事件的次数,这种形式更加常见，服从的是参数为 $\frac{1}{\lambda}$ 的指数分布

指数分布分布的理解与公式推导

在之前的文章中我们说过泊松分布https://blog.csdn.net/qq_42692386/article/details/125916391,可以知道泊松分布其实是描述一段时间内事情发生了多少次(例子中就是营业时间内卖了多少个馒头)的概率分布，而现在我们想研究一下事件与事件之间间隔时间（卖两个馒头之间的间隔时间）的服从什么分布呢？
假如某一天没有卖出馒头，比如说周三吧，这意味着，周二最后卖出的馒头，和周四最早卖出的馒头中间至少间隔了一天：
在这里插入图片描述

当然也可能运气不好，周二也没有卖出馒头。那么卖出两个馒头的时间间隔就隔了两天，但无论如何时间间隔都是大于一天的：
在这里插入图片描述
而某一天没有卖出馒头的概率可以由泊松分布得出：

$P(X=0)=\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}$

根据上面的分析，卖出两个馒头之间的时间间隔要大于一天，那么必然要包含没有卖出馒头的这天，所以两者的概率是相等的。如果假设随机变量为：

$Y = 卖出两个馒头之间的时间间隔$

那么就有：

$1)=P(X=0)=e^{-\lambda}$

但是现在问题出现了：之前求出的泊松分布实在限制太大，只告诉了我们每天卖出的馒头数。而两个馒头卖出的事件间隔可能是大于一天，也有可能只间隔了几分钟，所以我们想知道任意的事件间隔里卖出的馒头数量的概率分布，比如半天卖出的馒头数的分布，一小时卖出的馒头数的分布。
稍微扩展下可以得到新的函数：

$P(X=k,t)=\frac{({\lambda}{t})^k}{k!}e^{-\lambda{t}}$

扩展后得到的这个函数称为泊松过程，具体的推导过程比较复杂，可以自行搜索学习，这里不再赘述。
通过新的这个函数就可知不同的时间段 $t$ 内卖出的馒头数的分布了（ $t = 1$ 时就是泊松分布）：

在这里插入图片描述

根据之前的分析，两次卖出馒头之间的时间间隔大于 $t$ 的概率，等同于 $t$ 时间内没有卖出一个馒头的概率，而后者的概率可以由泊松过程给出。还是一样假设随机变量 $Y = 卖出两个馒头之间的时间间隔$
则随机变量 $Y$ 的概率：

$t)=P(X=0,t)=\frac{({\lambda}{t})^0}{0!}e^{-\lambda{t}}=e^{-\lambda{t}},t \geq 0$

进而有：
$\leq t)=1-P(Y > t)=1-e^{-\lambda{t}}$

这其实已经得到了的累积分布函数了：
$\leq y)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda{y}}, & y\geq 0 \\ 0, & y<0 \end{cases}$

对其求导就可以得到概率密度函数：
$\begin{cases} \lambda e^{-\lambda{y}}, & y\geq 0 \\ 0, & y<0 \end{cases}$

这就是卖出馒头的时间间隔的概率密度函数，也就是指数分布。

对应参数的含义辨析

和教科书中的定义比较，可以看到对应的形式稍微不一样，但是实际上 $\lambda=\frac{1}{\theta}$ ，这里 $\theta$ 的含义是事件发生的事件间隔。根据之前的泊松分布定义和推导过程我们知道这里的 $\lambda$ 是对应随机事件在对应时间内的数学期望。在泊松分布中是对应的单位时间内卖出的馒头数量的总和，而在指数分布中，由于我们要研究的是随机事件是对应的随机事件发生间隔，所以对应随机事件的期望（也就是卖出两个馒头的时间间隔的期望）是单位时间发生次数（卖出的馒头数量）的倒数。所以可以将参数 $\lambda$ 改为 $\frac{1}{\theta}$ ，即可得到教科书中参数为 $\frac{1}{\theta}$ 的公式：

举个例子：如果您每天卖了3个馒头（ $\lambda=3$ ），则意味着每卖出2个馒头的间隔期望为 $\frac{1}{3}$ （ $\theta=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{3}$ ）。在有的参考书中， $\theta$ 被称为“衰减率”*

指数分布的图像

指数分布中的 $\lambda$ 是每日平均卖出的馒头数，如果 $\lambda$ 越大，也就是说每日卖出的馒头越多，那么两个馒头之间的时间间隔必然越短，这点从图像上也可以看出。

当 $\lambda$ 较小的时候，比如说 $\lambda=1$ 吧，也就是说一天只卖出一个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于1的可能性就很大（下图是指数分布的概率密度函数的图像，对应的概率是曲线下面积）：
在这里插入图片描述

而如果 $\lambda$ 较大的时候，比如说 $\lambda=3$ ，也就是说一天卖出三个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于1的可能性已经变得很小了：
在这里插入图片描述

指数分布期望与方差

指数分布的期望值是：

$(X)={\frac {1}{\lambda }}$
这个很好理解：如果你平均每天卖两个馒头，那么你预期每卖一个馒头的时间是半天。

指数分布的方差：

$(X)={\frac {1}{\lambda^2 }}$

严格的推导过程如下：
首先，指数分布属于连续型随机分布，因此，其期望E(X)为：
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} |x|f(x)dx=\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x \lambda e^{-\lambda{x}}dx= \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{+\infty} {\lambda}x e^{-\lambda{x}}d{\lambda}x$
令 $u = λ x$ ，并使用分步积分法积分，则：
$E(X)=\frac{1}{\lambda}\int_{0}^{+\infty}ue^{−u}du=\frac{1}{\lambda}[(−e^{−u}−ue^{−u})\big|_{0}^{+\infty}=\frac{1}{\lambda}$

对于指数分布的方差D(X)有：
$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$
其中
$E(X^2)=\int_{-\infty }^{\infty }|x^2|f(x)dx=\int_{0}^{\infty }x^2f(x)dx=\int_{0}^{\infty }x^2\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx$
$E(X^2)=\frac {1} {\lambda^2}\int_{0}^{\infty }\lambda x \lambda xe^{-\lambda x}d\lambda x$

同样令 $u = λ x$ ，并使用分步积分法积分，则：
$E(X^2)=\frac {1} {\lambda^2}\int_{0}^{\infty }u^2e^{-u}du=\frac {1} {\lambda^2}[(-2e^{-u}-2ue^{-u}-u^2e^{-u})|(\infty,0)]=\frac {1} {\lambda^2}\cdot 2=\frac {2} {\lambda^2}$
即可利用公式解得
$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac {2} {\lambda^2}-(\frac {1} {\lambda})^2=\frac {1} {\lambda^2}$

指数分布的无记忆性

无记忆性是指经过一定的试验次数或时间后，随机变量的条件概率仍服从相同的分布，形象化地说计算后续的分布时可以把过去的经历完全忽略忘记，故称为无记忆性
$\mid X>s)=P(X>t), \quad \ \ s, t \geq 0$
指数分布的无记忆性证明如下：
$\mid X>s)=\frac{P\{(X>s+t) \cap ( X>s)\}}{ P( X>s)} \\ =\frac{P(X>s+t)}{ P( X>s)} =\frac{1-F(s+t)}{ 1-F(s)} \\ =\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda(s)}}=e^{-\lambda{t}}=P(X>t)$

在浙大教材中有个例子：如果X是某一个电器的使用寿命，在使用过 s 小时后，它还能再使用 t 小时的概率，和它一开始算寿命就是 t 小时的概率是一样的。
很多人觉得日常生活中的电子元件用了十年之后不可能还能和新的有一样的预期寿命，实际上这个例子应该要加上一个条件的：如果将电器考虑作理想的电器，器件不会老化。
此时，电器的寿命是随机的。可以视为电器内部彷佛每秒钟都在扔硬币（扔硬币很好理解，不管前面扔了多少次，再扔一次硬币正反面的概率仍是二分之一），扔到了正面，电器就坏了。在这种情况下，我们认为电器的寿命服从指数分布。现实中是不会有理想电器的，但是如果只考虑短时间内的电器寿命，那么就可以将之视作理想电器，认为它的寿命服从指数分布。