最近一直忙于学校的事情，好久没更新了，实在抱歉。接下来几期大概也会更得慢一些，望见谅。
练习4：写出4次对称群S4中所有置换。
解：由上一篇笔记结尾的定理我们知道，4次对称群的阶（也就是所含元素）是4!=24，因此S4中含有24个置换，分别是：
恒等置换(1);
1和2的对换(12);1和3的对换(13);1和4的对换(14);2和3的对换(23);2和4的对换(24);3和4的对换(34);
4保持不变、1变2、2变3、3变1的置换(123);3保持不变、1变2、2变4、4变1的置换(124);2保持不变、1变3、3变4、4变1的置换(134);1保持不变、2变3、3变4、4变2的置换(234);4保持不变、1变3、3变2、2变1的置换(132);3保持不变、1变4、4变2、2变1的置换(142);2保持不变、1变4、4变3、3变1的置换(143);1保持不变、2变4、4变3、3变2的置换(243);
1变2、2变3、3变4、4变1的置换(1234);1变2、2变4、4变3、3变1的置换(1243);1变3、3变2、2变4、4变1的置换(1324);1变3、3变4、4变2、2变1的置换(1342);1变4、4变2、2变3、3变1的置换(1423);1变4、4变3、3变2、2变1的置换(1432);
1和2对换且3和4对换(12)(34);1和3对换且2和4对换(13)(24);1和4对换且2和3对换(14)(23);
所以S4 = {(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(124),(134),(234),(132),(142),(143),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}。
练习5：简写以下置换——
解析：置换σ1表示先是1、2对换，然后是3变4、4变5、5变3的循环置换（或者顺序反过来），这两个置换彼此是不相交的，因此可以写成(12)(345)的形式；
置换σ2表示4、5保持不变，然后是1变2、2变3、3变1的循环置换，因此可以写成(123)的形式；
置换σ3表示1保持不变，然后先是2、3对换，再接着是4、5对换（顺序也可逆），这三个置换彼此是不相交的，因此可以写成(1)(23)(45) = (23)(45)的形式；
置换σ4表示1变2、2变3、3变4、4变5、5变1的循环置换，因此可以写成(12345)的形式；
置换σ5表示3保持不变，然后是1变2、2变4、4变5、5变1的循环置换，因此可以写成(1245)的形式。
练习6：将以下置换的化简形式写成标准形式——
σ1 = (126)(354)
σ2 = (12)(56)
σ3 = (1)
σ4 = (13562)
σ1 = (16)(25)(34)
解：
解析类似练习5，不再详述。
定理3：置换可以表示成若干个不相交的循环置换的乘积。
练习7：在S6中计算：(12)(13)(14)，(12)(14)(16)，(13)(14)(15)(16)，(13)(12)(14)，(16)(14)(12)。
解：(12)(13)(14)——按从右往左的顺序，先是1变4、4变1，借着1变3、3变1，最后1变2、2变1，因此最终计算结果是：1→4→3→2→1，因此可记为(1432)；
同理，(12)(14)(16)表示1→6→4→2→1，因此可记为(1642)；
(13)(14)(15)(16)表示1→6→5→4→3→1，因此可记为(16543)；
(13)(12)(14)表示1→4→2→3→1，因此可记为(1423)；
(16)(14)(12)表示1→2→4→6→1，因此可记为(1246)。
定理4：任何一个循环置换都可以表示为若干个对换的乘积，特别地，k-循环可表示为至少(k-1)个对换的乘积：(r1r2......rk) = (r1rk)(r1rk-1)......(r1r2)。
推论：任一个置换都可表示为若干个对换的乘积。
（待续……）
