第198题｜很精彩的一道题｜函数强化训练（五）

第198题｜很精彩的一道题｜函数强化训练（五）｜武忠祥老师每日一题

解题思路：解决这道题有两种方法：第一种直接法排除法，第二种秒杀法

直接法排除法

(A)

要证明f(x)是以2为周期的函数：则要证明f(x+2)=f(x);

证明过程如下：

$f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x)$

A得证。

(B)

变上限积分关于周期的结论：

$\bullet$ f(x)连续，以T为周期时， $\int_{0}^{x}f(t)dt$ 以T为周期的充分必要条件是 $\int_{a}^{a+T}f(t)dt=0$

$\bullet$ f(x)以T为周期时，f(ax+b)的周期是 $\frac{T}{|a|}$

$\bullet$ f(x)-f(-x)是奇函数

有了上面的知识储备，我们再来看这个选项

f(t)以2为周期，那么f(-t)也是以2为周期，那么【f(t)-f(-t)】也是以2为周期。

我们再来看想证 $\int_{0}^{x}[f(t)-f(-t)]dt$ 是周期为2的周期函数，就要证：【f(t)-f(-t)】在a到a+T上的积分是0，而我们可以看出来【f(t)-f(-t)】是奇函数，奇函数在（-1，1）的积分是0，根据结论，我们可以证明 $\int_{0}^{x}[f(t)-f(-t)]dt$ 。B对。

(C)

要看 $\int_{0}^{x}f( t)dt-\frac{x}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt$ 是不是以2为周期，我们要先把他变成 $\int_{0}^{x}f(t)dt$ 的形式，再利用结论做题。这里要注意的是 $\frac{\int_{0}^{2}f(t)}{2}$ 是一个常数。所以我们可以做以下变形：

$\int_{0}^{x}f( t)dt-\frac{x}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt=\int_{0}^{x}f( t)dt-\frac{\int_{0}^{2}f(t)}{2}xdt$

$\int_{0}^{x}f( t)dt-\frac{\int_{0}^{2}f(t)}{2}xdt =\int_{0}^{x}[f(t)-\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)]dt$

f(t)是周期函数， $\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt$ 是一个常数，周期函数减一个常数还是周期函数。所以

$[f(t)-\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)]$ 是周期为2的周期函数，下面就看 $[f(t)-\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)]$ 在a-a+T上的积分是不是=0；因为出现了0-2的积分，所以我们先试试整体0-2的积分是不是为0：

这里要注意， $\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt$ 是一个常数，常数在常数上的积分是一个乘 $\int_{0}^{2}[f(t)-\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)]dt=\int_{0}^{2}f(t)dt-\int_{0}^{2}[\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)]dt$