introduction

• 学习的并不是policy，而是学习critic，critic用来评价policy好还是不好；
• 一种critic：state value function $V^{\pi }(s)$是给定一个policy $\pi$，在遇到state $s$之后累积的reward的期望值，以游戏举例也就是一个actor在看到某一个画面$s$之后直到游戏结束预期可以获得多大的value，更直观的解释是到达游戏的某一个节点state $s$，当前游戏还可以得多少分，critic需要和一个特定的actor绑定才可以得到evaluate；
• 如何衡量$V^{\pi }(s)$，有两种方法，其一是Monte-Carlo，给出一个state玩游戏到最后会得到一个value，收集多个$state,value$对，然后将$V^{\pi }(s)$看做一个network，当做一个回归问题进行训练；另一种方法是Temporal-difference(TD) based方法，基于的是$V^{\pi }(s_t)=V^{\pi }(s_{t+1})+r_t$，在这种方法之下就不需要玩完一整场游戏才能获得reward值，而是在当前state为$s_t$的情况下，采取action $a_t$，此时会转到$s_{t+1}$，并且会获得一个reward $r_t$，此时模型最后追求的不是像方法1一样输出一场游戏总的reward，而是要尽量保证$V^{\pi }(s_t)-V^{\pi }(s_{t+1})=r_t$，模型还是输出value，但是损失函数是根据差值和reward接近得到的；
• 两种方法的对比MC的variance比TD方法大；
• 另一种critic：state-action value function $Q^{\pi }(s,a)$，当给定actor $\pi$，在遇到state $s$的时候采取action $a$后reward的期望值，有两种network形式一种是输入$s,a$输出一个常量代表value，另一种是输入$s$输出在$a$取不同值的时候的value值；
• 有了critic就可以进行Q-learning，过程，首先初始化一个policy $\pi$，然后学习其对应的critic $Q^{\pi }$，之后就可以更新policy ${\pi }^{\prime }$，这个${\pi }^{\prime }$比$\pi$好，得到的方式${\pi }^{\prime }(s)=arg\underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)$，可以看到${\pi }^{\prime }$是通过Q解优化方程得到的，这个过程反复迭代下去，这个优化在action是离散的时候可以比较好解，连续时候，更新之后的${\pi }^{\prime }$比之前的$\pi$好，是有对于任意的state $s$有$V^{{\pi }^{\prime }}(s)\ge V^{\pi }(s)$；
• Target Network：在训练TD类critic的时候，有两个network，一个输入$(s_t,a_t)$，输出$Q^{\pi }(s_t,a_t)$，另一个输入$(s_{t+1},\pi (s_{t+1}))$输出$Q^{\pi }(s_{t+1},\pi (s_{t+1}))$，然后训练是通过计算两个输出的差值和$r_t$计算损失得到的，但是此时不好训练，所以将第二个network固定住，第二个网络也叫做Target Network，当然Target Network也不是完全不更新，一般是将第一个网络更新一定次数之后再直接用第一个network的参数更新Target Network的参数，只是不要两个network一起参与训练；
• Exploration：在第二种critic中，更新$\pi$的方式是${\pi }^{\prime }(s)=arg\underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)$，由于结果是sample来进行的，所以会出现偏差，而且偏差会持续下去，一个比较实际的例子是进一家吃饭，点到一个还可以的饭，之后就会一直点他，但是可能还有更好吃的；所以要给这个过程添加一些扰动，有两种方法，其一是Epsilon Greedy：$a=\{\begin{array}{ll}arg\underset{a}{\max }Q(s,a),& withprobability1-ϵ\\ random& otehrwise\end{array}$；另一种方法是Boltzmann Exploration：$P(a|s)=\frac{exp(Q(s,a))}{{\sum }_{a}exp(Q(s,a))}$以确保尽管几率小，但是行为还是有概率被取到；
• Replay Buffer：将数据都放到一个buffer里面，有一个限制的大小，在buffer满的时候将旧的数据丢掉，每次训练的时候就随机选出一个batch的数据，然后训练Network；这样就是一个off-policy的做法，因为数据不是全由当前policy得到的，可能是由历史policy得到的；
• 一个典型的Q-Learning算法：

训练Q-Learning的tips

• Q value is usually over-estimated：因为原来回归的目标$Q(s_t,a_t)\to r_t+\underset{a}{\max }Q(s_{t+1},a)$，这样每次都偏向于选择被高估的action来作为目标，缓解办法：double DQN，回归目标换成$Q(s_t,a_t)\to r_t+Q^{\prime }(s_{t+1},arg\underset{a}{\max }Q(s_{t+1},a))$，这个$Q^{\prime }$就是Target Network；
• Dueling DQN：修改了Network的架构，原来是直接输出Q value，现在是分为两条支路，分别输出$V(s),A(s,a)$，最后的Q value是两个输出的加和，好处，现在假设更新了state，那么$V(s)$变化了，得到的Q value的值在每个state下都会变化，而不是只有在sample到对于state的情况下才能变化，在训练的时候还会加上constraint，$A(s,a)$对于某个state的加和为0；
• Prioritized Reply：在buffer中采样的时候加上权重，增加困难样本的权重；
• multi-step：在buffer里面存储的数据不仅仅是一步，而是存的多步，MC和TD之间的balance；
• Noisy Net：exploration的另一种方法，在network的参数上面加上noise，上面epsilon exploration是在action上面加noise；

Q-Learning for Continuous Actions

• action $a$是一个连续的vector，此时解$a=arg\underset{a}{\max }Q(s,a)$比较难，此时没有办法枚举所有action来算出哪一个action的value最大；
• 方法1：sample一个action集合，之后计算看那个action的Q value最大；
• 方法2：用梯度下降的方法来解上面那个优化问题；
• 方法3：专门设计一个network来使得上面的优化容易，对于$Q^{\pi }$，输入state $s$，输出$\mu (s),\sum (s),V(s)$，分别是vector,matrix,scalar，最后的Q value的计算是$Q(s,a)=-(a-\mu (s){)}^T\sum (s)(a-\mu (s))+V(s)$，此时$\mu (s)=arg\underset{a}{\max }Q(s,a)$，因为上面$Q(s,a)$的第一项一定是负的，越靠近0越好；

ref
https://www.youtube.com/watch?v=tnPVcec22cg&list=PLJV_el3uVTsODxQFgzMzPLa16h6B8kWM_&index=5&ab_channel=Hung-yiLee