【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/219/

【题目描述】
给出一个有向无环的连通图，起点为 1，终点为 N，每条边都有一个长度。
数据保证从起点出发能够到达图中所有的点，图中所有的点也都能够到达终点。
绿豆蛙从起点出发，走向终点。
到达每一个顶点时，如果有 K 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K。
现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点所经过的路径总长度的期望是多少？

【输入格式】
第一行: 两个整数 N，M，代表图中有 N 个点、M 条边。
第二行到第 1+M 行: 每行 3 个整数 a,b,c，代表从 a 到 b 有一条长度为 c 的有向边。

【输出格式】
输出从起点到终点路径总长度的期望值，结果四舍五入保留两位小数。

【数据范围】
1≤N≤10^5,
1≤M≤2N

【输入样例】
4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4

【输出样例】
7.00

【算法分析】
● 本题用到概率论中数学期望的线性性质：

● 设 f(x) 表示从节点 x 走到终点所经过的路径的期望长度。
若从 x 出发有 k 条边，分别到达 y1,y2,…,yk，边长分别是 z1,z2,…,zk，则根据数学期望的定义和性质，有：。示意图如下所示：

由于题目给定起点为 1，终点为 N，故分析得初始状态为 f[N]=0，目标状态是 f[1]。

● 链式前向星：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/126474608
链式前向星的核心代码模板如下所示：

void add(int a,int b) {
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void add(int a,int b,int w) {
    val[idx]=w,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void dfs(int u) { //dfs
    cout<<u<<" ";
    st[u]=true;
    for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) { //~i; equivalent to i!=-1;
        int j=e[i];
        if(!st[j]) {
            dfs(j);
        }
    }
}

void bfs(int u) { //bfs
    queue<int>q;
    st[u]=true;
    q.push(u);
    while(!q.empty()) {
        int t=q.front();
        q.pop();
        cout<<t<<" ";
        for(int i=h[t]; ~i; i=ne[i]) { //~i; equivalent to i!=-1;
            int j=e[i];
            if(!st[j]) {
                q.push(j);
                st[j]=true; //need to be flagged immediately after being queued
            }
        }
    }
}

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+5;
const int M=2e5+5;

int val[M],e[M],ne[M],h[N],idx;
int cdu[N];
double f[N];
int n,m;

void add(int a,int b,int w) {
    val[idx]=w,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

double dp(int u) {
    if(f[u]>=0) return f[u];
    f[u]=0;
    for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
        int j=e[i];
        f[u]+=(val[i]+dp(j))/cdu[u];
    }
    return f[u];
}

int main() {
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    for(int i=0; i<m; i++) {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
        cdu[a]++;
    }
    memset(f,-1,sizeof f);
    printf("%.2lf\n",dp(1));

    return 0;
}

/*
in:
4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4

out:
7.00
*/

【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/145113/
https://www.acwing.com/solution/content/25991/
https://www.acwing.com/problem/content/video/219/