39. 组合总和

文档讲解代码随想录

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

这道题目的关键点： 

candidates ：无重复元素的数组、candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

与之前做过的组合问题的区别：

组合问题是给一个集合，找出k个元素的组合，把这些组合都列出来，递归的层数（树的深度是确定的）

这里没有限制组合里面的数量，找到了和为target的就可以，通过和来限定树的深度

这道题目的树形结构：

 这道题目中说元素可以重复使用，这就告诉我们如果这次选了2，下次还可以选2，也就是剩余的集合里要包括本次选取的一个元素。如果选取了5，那么下次就从[5,3]中选取，为什么不从[2,5,3]选取，因为在选2的时候已经会从[2,5,3]中选了，会有重复的情况

回溯法

回溯函数参数返回值：

这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）

首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。

此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，依然用了sum。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：77.组合 (opens new window)，216.组合总和III (opens new window)。

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17.电话号码的字母组合(opens new window)

注意以上只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面在讲解排列的时候会重点介绍。

回溯函数终止条件

终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target，sum等于target的时候，需要收集结果

（递归的过程就是纵向遍历，在增加sum的过程）

回溯搜索的单层搜索逻辑

 单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。注意本题和77.组合 (opens new window)、216.组合总和III (opens new window)的一个区别是：本题元素为可重复选取的，关键点就在于递归调用函数时，传入的statindex和当前读取到的数一样

class Solution:
    def __init__(self):
        # 初始化结果列表，用于存储最终的组合结果
        self.result = []
        
        # 初始化路径列表，用于存储当前组合的路径
        self.path = []
    
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        # 定义回溯函数
        def backtracking(candidates, current_sum, start_index):
            # 如果当前和等于目标值，将当前路径添加到结果列表中
            if current_sum == target:
                self.result.append(copy.deepcopy(self.path))  # 深拷贝当前路径
                return
            # 如果当前和超过目标值，停止继续递归
            elif current_sum > target:
                return 
            else:
                # 遍历候选数组，从start_index开始，避免重复组合
                for i in range(start_index, len(candidates)):
                    # 添加当前候选数到路径中
                    self.path.append(candidates[i])
                    # 更新当前和
                    current_sum += candidates[i]
                    # 递归调用回溯函数，！！关键点：注意传入的起始索引是i，允许重复使用当前数
                    backtracking(candidates, current_sum, i)
                    # 回溯，移除路径中的最后一个数
                    self.path.pop()
                    # 恢复当前和
                    current_sum -= candidates[i]

            return self.result
        
        # 调用回溯函数，初始和为0，起始索引为0
        return backtracking(candidates, 0, 0)

剪枝

在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！

具体的之后再看

40.组合总和II

文档讲解：代码随想录

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

题目关键点：candidates 中包含重复的元素 、candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次、解集不能包含重复的组合。

这个题目的难点：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。如果 candidates = [2,5,2,1,2]  target = 5，那么按照之前的做法就会出现重复的组合，比如取到第一个2时，后面可以再取2和1，在后面在取到第二个2时，还可以再取到2和1

去重逻辑

假设排序后的集合：[1,1,2,3]

①假设取第一个1，后面就会从[1,2,3]里面选

②假设取第二个1，后面就会从[2,3]里面选

第①次选的剩下的元素不仅包含了第②次选的剩下的所有元素，而且1也包含了，那么注定②以1为开头的元素一定和①中以1为开头的选的元素是重复的

排序就是为了让相邻的元素放在一起，那么①中取1之后，②中再以1开头的都会包含在①中了

因为元素已经排序过了，②中的1后面的元素一定在①中的1后面

所以说去重的关键在于树层去重

代码实现

回溯三部曲

• 递归函数参数

与39.组合总和 (opens new window)套路相同，此题还需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。

这个集合去重的重任就是used来完成的。

• 递归终止条件

与39.组合总和 (opens new window)相同，终止条件为 sum > target 和 sum == target。

• 单层搜索的逻辑

这里与39.组合总和 (opens new window)最大的不同就是要去重了。

前面我们提到：要去重的是“同一树层上的使用过”，如何判断同一树层上元素（相同的元素）是否使用过了呢。

如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。

此时for循环里就应该做continue的操作。

这块比较抽象，如图：

使用 used

class Solution:
    def __init__(self):
        self.path = []
        self.result = []
    def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        def backtracking(candidates,target,start_index,sum,used):
            if sum == target:
                self.result.append(copy.deepcopy(self.path))
                return
            elif sum > target:
                return
            else:
                for i in range(start_index,len(candidates)):
                    if i > 0:#可以这样写
                    # if i > start_index:#也可以这样写
                        if (candidates[i] == candidates [i-1] and  used[i-1] != True):#保证是树层去重
                            continue
                    self.path.append(candidates[i])
                    sum += candidates[i]
                    used[i] = True
                    backtracking(candidates,target,i+1,sum,used)
                    used[i] = False
                    self.path.pop()
                    sum -= candidates[i]
            return self.result
        used =  [False] * len(candidates)
        candidates.sort()
        print(candidates)
        return backtracking(candidates,target,0,0,used)

不使用used

class Solution:
    def __init__(self):
        self.path = []
        self.result = []
    def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        def backtracking(candidates,target,start_index,sum):
            if sum == target:
                self.result.append(copy.deepcopy(self.path))
                return
            elif sum > target:
                return
            else:
                for i in range(start_index,len(candidates)):
                    # if i > 0:#不可以这样写,i不一定是从0开始的
                    if i > start_index:
                        if (candidates[i] == candidates [i-1]):
                            continue
                    self.path.append(candidates[i])
                    sum += candidates[i]
                    backtracking(candidates,target,i+1,sum)
                    self.path.pop()
                    sum -= candidates[i]
            return self.result
        candidates.sort()
        print(candidates)
        return backtracking(candidates,target,0,0)

这两种结果为什么是一样的？，后面再看，目前还没有太懂

131.分割回文串 

文档讲解：代码随想录

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

切割问题和组合问题是差不多

例如对于字符串abcdef：

• 组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中再选取第三个.....。
• 切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中再切割第三段.....。

所以切割问题，也可以抽象为一棵树形结构，如图：

递归用来纵向遍历，for循环用来横向遍历，切割线（就是图中的红线）切割到字符串的结尾位置，说明找到了一个切割方法。

回溯三部曲

• 递归函数参数

全局变量数组path存放切割后回文的子串，二维数组result存放结果集。 （这两个参数可以放到函数参数里）

本题递归函数参数还需要startIndex，因为切割过的地方，不能重复切割，和组合问题也是保持一致的。

• 递归函数终止条件

从树形结构的图中可以看出：切割线切到了字符串最后面，说明找到了一种切割方法，此时就是本层递归的终止条件

那么在代码里什么是切割线呢？

在处理组合问题的时候，递归参数需要传入startIndex，表示下一轮递归遍历的起始位置，这个startIndex就是切割线。

• 单层搜索的逻辑

来看看在递归循环中如何截取子串呢？

在for (int i = startIndex; i < s.size(); i++)循环中，我们 定义了起始位置startIndex，那么 [startIndex, i] 就是要截取的子串。

首先判断这个子串是不是回文，如果是回文，就加入在path中，path用来记录切割过的回文子串。

from typing import List
import copy

class Solution:
    def __init__(self):
        self.path = []  # 收集单一结果的路径
        self.result = []  # 存储符合条件的最终结果
    
    def partition(self, s: str) -> List[List[str]]:
        # 定义一个递归的回溯函数
        def backtracking(s, start_index):
            # 终止条件：如果起始索引等于字符串长度，说明已经切割到最后
            if start_index == len(s):
                self.result.append(copy.deepcopy(self.path))  # 将当前路径的深拷贝加入结果中
                return
            # 单层搜索逻辑：从起始索引开始遍历字符串
            for i in range(start_index, len(s)):
                # 如果从start_index到i的子串是回文串
                if self.isPalindrome(s, start_index, i):
                    # 将这个回文子串加入路径
                    self.path.append(s[start_index:i + 1])  # 切片的末尾是i+1
                    # 递归调用回溯函数，处理剩余的子串
                    backtracking(s, i + 1)
                    # 回溯，移除最后一个加入路径的子串
                    self.path.pop()
            
            return self.result  # 返回结果
        
        return backtracking(s, 0)  # 从索引0开始调用回溯函数
    
    def isPalindrome(self, s, start_index, end_index):
        # 判断一个子串是否是回文串
        while start_index < end_index:  # 当起始索引小于结束索引时进行判断
            if s[start_index] != s[end_index]:  # 如果头尾字符不相等，返回False
                return False
            start_index += 1  # 移动起始索引向右
            end_index -= 1  # 移动结束索引向左
        return True  # 如果所有字符都匹配，返回True

这道题目有下几个难点：

• 切割问题可以抽象为组合问题
• 如何模拟那些切割线
• 切割问题中递归如何终止
• 在递归循环中如何截取子串
• 如何判断回文