小伙伴们大家好，本片文章将会讲解
AVL树的左双选和右双旋的相关内容。
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文章目录
- `1. 左右双旋`
- `1. 右左双旋`
- `3. AVL的验证`
- `3. AVL的验证`
- `3. AVL的性能`
1. 左右双旋
⚡出现情况
1. 此处在30的左子树或者右子树新增节点都会引发旋转；
2. 如果单纯的对根节点进行右单旋，并不能解决左边高的问题，会变成右边高，所以要进行双旋，步骤如下：
1. 先对parent->left节点进行左单旋
2. 再对根节点进行右单旋
完整步骤
我们假设顶端节点叫做
parent，parent->left叫做subL，subL->right叫做subLR。
左右双旋后满足二叉搜索树的性质：
左右双旋后，实际上就是让
subLR的左子树和右子树，分别作为subL和parent的右子树和左子树，再让subL和parent分别作为subLR的左右子树，最后让subLR作为整个子树的根。
1.subLR的左子树当中的结点本身就比subL的值大，因此可以作为subL的右子树。
2.subLR的右子树当中的结点本身就比parent的值小，因此可以作为parent的左子树。
3. 经过步骤1、2后，subL及其子树当中结点的值都就比subLR的值小，而parent及其子树当中结点的值都就比subLR的值大，因此它们可以分别作为subLR的左右子树。
左右双旋后，平衡因子的更新随着subLR原始平衡因子的不同分为以下三种情况：
1、当
subLR原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0。
2、当
subLR原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0。
3、当
subLR原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0。
代码如下：
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
//1、以subL为旋转点进行左单旋
RotateL(subL);
//2、以parent为旋转点进行右单旋
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
1. 右左双旋
⚡出现情况
1. 此处在60的左子树或者右子树新增节点都会引发旋转；
2. 如果单纯的对根节点进行左单旋，并不能解决右边高的问题，会变成左边高，所以要进行双旋，步骤如下：
1. 先对subR节点进行右单旋
2. 对parent节点进行左单旋
3. 完整步骤
右左双旋后满足二叉搜索树的性质：
右左双旋后，实际上就是让subRL的左子树和右子树，分别作为parent和subR的右子树和左子树，再让parent和subR分别作为subRL的左右子树，最后让subRL作为整个子树的根。
1、subRL的左子树当中的结点本身就比parent的值大，因此可以作为parent的右子树。
2、subRL的右子树当中的结点本身就比subR的值小，因此可以作为subR的左子树。
3、经过步骤1、2后，parent及其子树当中结点的值都就比subRL的值小，而subR及其子树当中结点的值都就比subRL的值大，因此它们可以分别作为subRL的左右子树。
右左双旋后，平衡因子的更新随着subRL原始平衡因子的不同分为以下三种情况：
1、当
subRL原始平衡因子是1时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为-1、0、0。
2、 当
subRL原始平衡因子是-1时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、1、0
3、当
subRL原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、0、0。
代码如下：
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf == 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = parent->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
3. AVL的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树
- 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
- 验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
详解代码：
public:
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
int Size()
{
_Size(_root);
}
int Height()
{
_Height(_root);
}
bool IsBalanceTree()
{
return _IsBalanceTree(_root);
}
private:
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 计算左右子树高度差绝对值
int dec = abs(leftHeight - rightHeight);
// 如果比1大说明不平衡
if (dec > 1)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
// 检查平衡因子是否计算正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}
int _Size(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
3. AVL的验证
⚡验证示例1
int a[] = {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};
验证代码：
void AVLTest1()
{
AVLTree<int, int> t;
int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
for (auto& e : a)
{
t.Insert({ e,e });
cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;
}
t.InOrder();
}
⚡验证示例2
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
验证代码：
void AVLTest1()
{
AVLTree<int, int> t;
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
for (auto& e : a)
{
t.Insert({ e,e });
cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;
}
t.InOrder();
}
3. AVL的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
