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买卖股票的问题在力扣（LeetCode）上是一个系列，涵盖了从简单到困难的多种变体，每个题目都有其特定的条件和限制。这里是一些常见题目的主要区别：
-
买卖股票的最佳时机121题
- 条件：只允许完成一笔交易（即买入和卖出一次股票）。
- 目标：求最大利润。
-
买卖股票的最佳时机 II 122题
- 条件：可以进行多次交易，但必须在再次购买前出售掉之前的股票。
- 目标：求最大利润。
-
买卖股票的最佳时机 III 123题
- 条件：最多可以完成两笔交易。
- 目标：求最大利润。
题目描述
给定一个整数数组 prices，其表示一支股票的价格变化；再给定一个整数 k，表示你最多可以完成 k 笔交易（买入和卖出算一笔交易，且每次交易之前必须卖出手中的股票）。请求出你能够获得的最大利润。
注意： 你不能同时参与多笔交易（必须在再次购买前卖掉之前的股票）。
示例：
输入: k = 2, prices = [2,4,1]
输出: 2
解释: 在第1天（价格 = 2）的时候买入，在第2天（价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。
方法一：动态规划
解题步骤
- 定义状态
dp[i][j]表示第i天结束时，进行了j次交易的最大利润。 - 对于每天的股票价格，更新买入和卖出状态：
dp[i][j]可以由dp[i-1][j]（不操作）或dp[i-1][j-1] - prices[i]（买入）更新。dp[i][j]也可以通过dp[i-1][j-1] + prices[i]（卖出）更新。
- 初始化状态，
dp[0][...] = 0或根据第一天的操作调整。 - 遍历完成后，
dp[n-1][k]为最大利润。
Python 示例
def maxProfit(k, prices):
n = len(prices)
if n < 2:
return 0
if k >= n // 2:
return sum(x - y for x, y in zip(prices[1:], prices[:-1]) if x > y)
dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
for j in range(1, k + 1):
max_buy = -prices[0]
for i in range(1, n):
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], prices[i] + max_buy)
max_buy = max(max_buy, dp[i - 1][j - 1] - prices[i])
return dp[-1][k]
# Example usage
k = 2
prices = [2, 4, 1]
print(maxProfit(k, prices)) # Output: 2
算法分析
- 时间复杂度：O(n*k)，其中 n 是数组的长度。
- 空间复杂度：O(n*k)，用于存储 dp 数组。
算法图解与说明
初始: dp = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
第一天: 不操作或买入
第二天: 卖出或继续持有
第三天: 选择最优操作
方法二：优化空间的动态规划
解题步骤
- 使用滚动数组优化空间复杂度，仅使用两行来存储当前和前一天的状态。
- 同样遵循动态规划的状态转移方程，但在每天结束后，将当前天的状态复制到“前一天”数组中。
- 通过优化状态转移的方式，减少空间使用，确保算法更高效。
Python 示例
def maxProfit(k, prices):
n = len(prices)
if n < 2:
return 0
if k >= n // 2:
return sum(max(prices[i + 1] - prices[i], 0) for i in range(n - 1))
dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(2)]
for j in range(1, k + 1):
max_buy = -prices[0]
for i in range(1, n):
dp[i % 2][j] = max(dp[(i - 1) % 2][j], prices[i] + max_buy)
max_buy = max(max_buy, dp[(i - 1) % 2][j - 1] - prices[i])
return dp[(n - 1) % 2][k]
# Example usage
k = 2
prices = [2, 4, 1]
print(maxProfit(k, prices)) # Output: 2
算法分析
- 时间复杂度: O(n*k)，其中 n 是股票价格的天数。
- 空间复杂度: O(k)，因为我们只保持了两个长度为 k+1 的数组。
算法图解与说明
假设 k=2, prices=[2, 4, 1]
使用滚动数组优化：
初始: dp[0][...] = [0, 0, 0]
dp[1][...] = [0, 0, 0]
第1天: max_buy = -2
第2天: dp[1][1] = max(dp[0][1], 4 - 2)
dp[1][2] = max(dp[0][2], dp[0][1] - 2)
继续更新...
方法三：局部最优与全局最优解法
解题步骤
- 使用两个数组
local和global来存储局部最优和全局最优的利润。 local[i][j]表示到达第 i 天时最多进行 j 次交易，并且最后一次交易在第 i 天卖出的最大利润。global[i][j]表示到达第 i 天时最多进行 j 次交易的最大利润。- 更新规则：
local[i][j] = max(global[i-1][j-1] + max(0, prices[i] - prices[i-1]), local[i-1][j] + (prices[i] - prices[i-1]))global[i][j] = max(global[i-1][j], local[i][j])
Python 示例
def maxProfit(k, prices):
n = len(prices)
if n < 2 or k <= 0:
return 0
if k >= n // 2:
return sum(max(prices[i + 1] - prices[i], 0) for i in range(n - 1))
local = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
global_profit = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
for i in range(1, n):
delta = prices[i] - prices[i - 1]
for j in range(1, k + 1):
local[i][j] = max(global_profit[i-1][j-1] + max(delta, 0), local[i-1][j] + delta)
global_profit[i][j] = max(global_profit[i-1][j], local[i][j])
return global_profit[-1][k]
# Example usage
k = 2
prices = [2, 4, 1]
print(maxProfit(k, prices)) # Output: 2
算法分析
- 时间复杂度: O(n*k)，每天的每个交易次数都进行了计算。
- 空间复杂度: O(n*k)，存储局部和全局最优利润。
算法图解与说明
股票价格: [2, 4, 1]
local 和 global 更新:
第2天 (价格4): local[1][1] = max(global[0][0] + 2, 0) = 2
global[1][1] = max(global[0][1], local[1][1]) = 2
继续追踪并更新所有局部和全局最优解...
这些方法提供了不同的策略来处理买卖股票的最佳时机问题，特别是当交易次数有限制时。每种方法都有其适用场景和优缺点，可以根据具体需求和资源情况选择最合适的策略。
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