LeetCode343：整数拆分

题目描述
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个正整数的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回你可以获得的最大乘积。

在这里插入图片描述
代码
动态规划

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        /*
            
            dp[i]：表示对i进行拆分，得到最大的乘积为dp[i]
            
            可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，
            而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
            递推公式：dp[i] = max(j*(i-j),j*dp[i-j])
           
           初始化：dp[0] = 0,dp[1] = 0, dp[2] = 1       
        */


        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = dp[1] = 0;
        dp[2] = 1;

        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                //为什么还要比较dp[i]：在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
                dp[i] = max(max(j * (i - j), j * dp[i - j]), dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

优化
因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。

例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话也是拆成m个近似数组的子数相乘才是最大的。

只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是最差也应该是拆成两个相同的可能是最大值。

那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        /*

            dp[i]：表示对i进行拆分，得到最大的乘积为dp[i]

            可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，
            而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
            递推公式：dp[i] = max(j*(i-j),j*dp[i-j])

           初始化：dp[0] = 0,dp[1] = 0, dp[2] = 1
        */


        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = dp[1] = 0;
        dp[2] = 1;

        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i/2; j++) {
                //为什么还要比较dp[i]：在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
                dp[i] = max(max(j * (i - j), j * dp[i - j]), dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

贪心
拆分尽可能多的3

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};