极限基本思想

在高等数学中极限是微积分的前置思想，没有极限的概念，那么微积分的理论将不复存在。极限也用于分析一个函数的连续性，可以说理解极限后理解函数的连续问题是轻而易举的事情。对于函数的连续性，不是什么高深的词汇就是字面意思，讲的就是这个函数的图像是否是持续不间断的，而间断则表示函数的图像存在断开的缺口那么函数就不是连续的状态了，所以极限必须花大量的时间去理解并掌握它。

1. 基本思想

比如有一个函数 $f(x)$，随着自变量 $x$ 的变化这个函数的值 $f(x)$ 也发生变化，这很容易理解 $x$ 表示 $X$ 轴的值，$f(x)$ 表示 $Y$ 轴上的值。所以如果 $x=1$ 那么对应函数 $f(x)$ 在 Y 轴上的值是 $f(1)$，依此类推 $f(2)$，$f(3)$ $...$ $f(n)$ 等等。

现在假设 $X$ 轴上有一个点 $a$，那么点 $a$ 的函数值为 $f(a)$，这很好理解吧，这时又有一个点 $b$ 沿着 $X$ 轴移动，该点逐渐的向点 $a$ 靠近，最终非常非常接近于 $a$ 点，例如距离 $a$ 点仅有 1nm 距离，但是又不等于 $a$ 时，$f(b)$ 的值是什么样子的？会是 $f(b)=f(a)$ 吗？。

显然是不会相等的，毕竟 $b$ 点再怎么接近 $a$ 点它也不是 $a$ 点呀！所以数学是很奇妙的，数学没有规定区分两个数的最小尺度，没有距离不可分的局限性，比如坐标轴上的一个刻度切割成无数份都可以，不像物理上的切割受限于最小切割尺寸，切到一定程度后就无法再切割了。

在现实世界最小细分尺度受限于有限的空间，所以在一段的有限距离下是不能无限切割出无数等分的，但是在数学上没有这个限制，可以将一段坐标轴切割成无数等分，两个数之间可以再细分出无数个细分小数值，那这个接近程度就是这无数等分中两个相邻等分的距离，所以说非常接近，但又还没接近。

2. 实例

现在以一个实际的函数为例来继续叙述一下极限的思想，极限在这里重在理解，建立一个概念，不考虑如何去计算极限表达式的值。

令函数 $f$ 的定义域为 R /   { 2 } R /\ \{2\} R/ {2}（除 2 以外的所有实数），并设 $f(x)=x-1$，这可以写作：

$$f(x)=x-1当x\ne 2$$

按照表达式绘制出的函数图像如下图所示，由于函数 $f$ 的定义域中不包含 $x=2$ 的情况，所以图像包含一个空心圆点。

之所以将函数的定义域定义为 $x\ne 2$，因为我们要来理解极限，就是要告诉你 $x$ 只能无限的接近于 $2$，但就是不能等于 $2$。

所以询问 $f(2) $ 是什么时，如果说 $f(2)=1$, 就大错特错了，因为 $2 $ 不在 $f $ 的定义域中，所以在没有学习极限时的最好回答就是 $f(2)$ 是无定义的。

但是有了极限之后情况一切都变了，虽然变量 $x$ 不能等于 $2$，但是可以无限的接近于 $2$，要令 $x $ 充分地接近于 $2$, 那么 $f(x)$ 想多接近于 $1$ 就能多接近于 $1$，当然这不是真的达到 $1$。

例如你想要 $f(x)$ 在 $1\pm 0.0001$ 范围内（实际上还可以更小），可以将 $x$ 取值在 $1.9999$ 和 $2.0001$ 之间的任意值。想要 $f(x)$ 在 $1\pm 0.0000005$ 范围内（实际上还可以更小），这时需要更加的细心，将 x 取值在 $1.9999995$ 和 $2.0000005$ 之间的任意值。当误差足够的小的时候可以近似认为 $f(1.9999995)=1$，所以在极限中处处有近似的思维。

3. 极限符号

当 $x$ 趋于 $2$, $f(x)$ 的极限等于 $1$，再次说明，这意味着，当 $x$ 接近于 $2$（当 $x$ 足够接近于 $2$，但不等于 $2$）时，$f(x)$ 的值接近于 $1$，那到底有多近呢？你想要多近就能多近。如果将这一段话使用极限表达式来描述就是下面这样子的。

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=1$$

整个过程描述很简单很简洁吧，所以在数学上一直致力于将问题抽象化，符号化，问题只有符号化之后很多问题才能够通过数学的思维，数学的方法去解释，去分析以及通过标准的手段去解决它。

4. 分段函数

假设有一个新的函数 $g$，其图像如图所示，函数 $g$ 的定义域是所有实数, 并且 $g(x)$ 可以被定义为如下的分段函数：

$$g(x)=\{\begin{array}{l}x-1x\ne 2\\ 3x=2\end{array}$$

${\lim }_{x\to 2}g(x)$ 是什么呢？这里的关键是，由于是分段函数，所以 $x=2$ 是在函数的定义域中的，但是 $g(2)$ 的值不在图像中，同时极限考虑的是 $x$ 靠近 $2$ 的情况而不是等于 $2$ 的情况。

所以 $g(2)$ 和该极限是不相关的！只有那些在 $x$ 接近于 $2$ 时的 $g(x)$ 的值, 而不是在 $2$ 处的值, 才是问题的关键。如果忽略 $x=2$, 函数 $g$ 和之前的函数 $f$ 就是完全相同的。因此，尽管 $g(2)=3$, 我们还是有

$$\underset{x\to 2}{\lim }g(x)=1$$

在极限表达式中，等式左边实际上不是 $x$ 的函数，要记住，以上等式是说当 $x$ 接近于 $2$ 时，$f(x)$ 接近于 $1$。事实上，我们可以将 $x$ 替换成其他任意字母，上式仍然成立，但是符号替换要彻底。

$$\underset{b\to 2}{\lim }f(b)=1,\underset{z\to 2}{\lim }f(z)=1,\underset{\alpha \to 2}{\lim }f(\alpha )=1$$

所以变量 $x$ 只是一个虚拟变量（符号），是一个暂时的标记，用来表示某个（在上述情况下）非常接近于 $2$ 的量。