2023华数杯数学建模竞赛选题建议

提示：DS C君认为的难度：C<B<A，开放度：B<A<C 。

A题：隔热材料的结构优化控制研究

A题是数模类赛事很常见的物理类赛题，需要学习不少相关知识。

其中第一问需要建立平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间关系的数学模型，并计算出单根A纤维的热导率。问题二是如何选用单根A纤维的直径和调整织物的经密纬密弯曲角度，使得织物的整体热导率最低。

对于前两问，大家可以采用传热模型：基于纤维传热和空隙中气体传热的理论，建立平纹织物的整体热导率与单根纤维热导率之间的关系模型。可以考虑使用传热方程和热传导模型以及多孔介质传热模型。然后进行参数拟合，也就是利用附件2提供的实验样品参数条件下测得的平纹织物的整体热导率，采用参数拟合或优化算法，将实验数据与理论模型进行匹配，得到单根A纤维的热导率。最后进行验证和评估，即根据建立的数学模型和计算得到的单根A纤维的热导率，对模型进行验证并进行评估。可以比较模型计算结果与实验数据的拟合程度，评估模型的准确性和可靠性。

这道题专业性较高，后续账号会在出本题具体思路分析时，再进行具体分析与建模。开放程度低，难度适中。但这类赛题通常不能起到好的练手作用，小白谨慎选择。DS-C君建议物理、电气、自动化等相关专业选择。

B题：不透明制品最优配色方案设计

B题需要用到不少运筹学相关算法，目测需要用到比如多目标优化、动态规划等，推荐利用lingo进行求解。

这里对第一问进行简单的分析，后续账号会在出本题具体思路分析时，再进行具体分析与建模。

问题一需要计算附件2中三种着色剂在不同波长下的KS值与浓度的关系。首先，我们需要选择适当的拟合函数，常见的选择包择多项式拟合、指数拟合、对数拟合等。在这里，我们使用多项式拟合来表示KS值与浓度的关系。这里的多项式拟合，如果大家想简单一点，可以就用多元线性回归或者二次多项式拟合，推荐利用matlab或者python做拟合。

具体步骤如下所示：

1 根据附件2中的数据，将波长和KS值与浓度分别记为 x 和 y

2 选择一个合适的多项式拟合函数形式

3 将拟合函数带入到拟合问题中，得到一个最小化误差的目标函数

4 使用最小二乘法或其他拟合方法求解该目标函数，得到拟合系数。

综上所述，通过拟合过程，我们可以得到红黄蓝三种着色剂在不同波长下的KS值与浓度的关系，并将关系式和拟合系数填写在表格中（表1）。具体的计算过程需要根据附件2中的数据和所选择的拟合函数进行实施。

这里给大家一个使用Python进行二次多项式拟合的示例代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

# 读取附件2中的数据
data = np.loadtxt('附件2.txt', skiprows=1, delimiter='\t')
wavelengths = data[:, 0]  # 波长
concentrations = data[:, 1]  # 浓度
ks_values = data[:, 2:]  # KS值

# 定义二次多项式函数模型
def quadratic_function(x, a, b, c):
    return a + b*x + c*x**2

# 对三种着色剂分别进行拟合
fit_params = []
for ks in ks_values.T:
    params, _ = curve_fit(quadratic_function, wavelengths, ks)
    fit_params.append(params)

# 打印拟合系数
print('拟合系数：')
for i, params in enumerate(fit_params):
    print(f'着色剂 {i+1}: a={params[0]}, b={params[1]}, c={params[2]}')

当然，最好在拟合后将拟合结果绘图，如下是绘图代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取附件2中的数据
data = np.loadtxt('附件2.txt', skiprows=1, delimiter='\t')
wavelengths = data[:, 0]  # 波长
concentrations = data[:, 1]  # 浓度
ks_values = data[:, 2:]  # KS值

# 定义二次多项式函数模型
def quadratic_function(x, a, b, c):
    return a + b*x + c*x**2

# 对三种着色剂分别进行拟合
fit_params = []
for ks in ks_values.T:
    params, _ = curve_fit(quadratic_function, wavelengths, ks)
    fit_params.append(params)

# 绘制拟合结果图
fig, axs = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 15))
colors = ['red', 'yellow', 'blue']
for i, ax in enumerate(axs):
    ax.scatter(wavelengths, ks_values[:, i], color='black', label='实际值')
    ax.plot(wavelengths, quadratic_function(wavelengths, *fit_params[i]), color=colors[i], label='拟合曲线')
    ax.set_xlabel('波长')
    ax.set_ylabel('KS值')
    ax.set_title(f'着色剂 {i+1}')
    ax.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

这道题存在最优解，开放程度低，难度适中。大家选择此题最好在做完后，线上线下对对答案。推荐统计学、数学、物理等专业同学选择。