[蓝桥杯 2021 国 ABC] 123（java）—

[蓝桥杯 2021 国 ABC] 123（java）——前缀和，思维

题目

解析

代码

~~这么久了，我终于能不看别人代码完整写出来了，呜呜呜。虽然过程也是很曲折。~~

题目

解析

这个题，找其中数列的规律，1,1,2,1,2,3,1,2,3,4，...，因此我们把拆分成行列，如下

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4 5

....

在这种格式下，我们可以发现每行的行数就是这行的最后一个数的值，且这行的和等于整个数列的值的个数。（例如：第3行最后一个值为3，第三行的和为6，对应从第一行到第三行的值的个数，也为6）

因此，我们求解[l,r] 之间的值，我们可以找到 l 和 r 对应的行数，假设为 $l\_{row}$ 和 $r\_{row}$ ，我们只需要加上从 $l\_{row}$ 到 $r\_{row}$ 每行的值，在处理一下 $l\_{row}$ 和 $r\_{row}$ 行端点的多的或者少的值，即可求出。

因此，我们可以预处理每行的和，用 a[ ] 存储起来，以及前 i 行的和，用 s[ ] 存储起来 。

对于行数的查找，我们可以使用二分，因为 第 i 行的和等于整个数列的值的个数，因此我们使用二分，每次判断 l 与 a[mid] 的大小，找到 l 对应的行 $l\_{row}$ 以及 r 对应的行 $r\_{row}$ 。利用 $s[r\_row]-s[l\_row]$ 可以求出行之间的和.

然后再对第 $l\_{row}$ 或者 $l\_{row}+1$ 行没计算的值进行处理（这里要对 $l\_{row}+1$ 进行处理的原因，我写的代码中二分找到是，比如，l 在第 i 行，但是如果 l 不是该行的最后一个数，取 i-1 行，即二分返回 i-1，所以需要解决 $l\_{row}$ +1 的值）。 $r\_{row}$ 同理。

对于l：

$l != a[l\_row]$ ， $sum+=a[l-a[l\_row]-1]$ 。l 不是 $l\_{row}$ 的最后一个数，即 l 是 $l\_{row}+1$ 行的数。（其中，l 也不能是 $l\_{row}+1$ 的第一个数）
$l == a[l\_row]$ ， $sum += l\_row$ ，加上 l 位置上的值。

r同理

（这部分自己动手画一下即可理解）

代码

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class P8762 {
    static int N = 1500000; //因为l,r的范围是10^12，当行数为1500000，数列总的个数可以超过10^12
    static int t;
    static long[] a = new long[N]; // 存储每行的和
    static long[] s = new long[N]; // 存储前i行的和
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        t = Integer.parseInt(in.readLine());
        // 预处理 a[] 和 s[]
        for(int i=1;i<N;i++){
            a[i] += a[i-1]+i;
            s[i] += s[i-1]+a[i];
        }

        while (t-->0){
            String[] str = in.readLine().split(" ");
            long l = Long.parseLong(str[0]);
            long r = Long.parseLong(str[1]);
            // 找l和r对应的行
            int l_down = find(l);
            int r_down = find(r);
            // 利用s[] 计算两个行之间的值
            long sum = s[r_down] - s[l_down];
            // 如果l对应的是l_down行的最后一个，直接加上位于l位置的值，否则，就要减l_down+1行多加了的值
            if(l==a[l_down]) sum += l_down;
            else if(l-a[l_down]>1) sum -= a[(int) (l-a[l_down]-1)];
            // 如果r对应的不是r_down的最后一个，就要加上r_down+1行未加上的值；否则，不用管，已经计算了
            if(r!=a[r_down]) sum += a[(int) (r-a[r_down])];
            System.out.println(sum);
        }
    }
    // 二分找对应的行
    public static int find(long x){
        int l = 1,r = N;
        while (l<r){
            int mid = (l+r+1)/2;
            if(a[mid]<=x) l = mid;
            else r = mid-1;
        }
        return l;
    }
}

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