本篇为本科课程《高电压工程基础》的笔记。

本篇为这一单元的第一篇笔记。下一篇传送门。

当电路中的设备（元件）最大实际尺寸l大于人们所感兴趣的谐波波长$\lambda$时，可以作为集中参数处理，否则就要当做分布参数处理。即：
$$\begin{gathered} 集中参数\lambda >l \\ 分布参数\lambda <l \end{gathered}$$

这些参数可以是线性的，也可以是非线性；可以是时不变，也可以是时变的；可以与电压电流有关，也可以无关。另外，他们之间还可能存在着电磁耦合，使得问题更加复杂。

波在单根均匀无损导线上的传播

单根输电线路的等效电路

电路的阻抗元件中，感抗($\omega L$)和容抗($\frac{1}{\omega C}$)均和频率有关。对于一条输电线路，其参数的取舍，在不同的频率下就不同。例如在短路电流下，电源的频率很低，相对于很大的短路电流，其电容电流很小，则线路可以用一个集中电感代替。但在雷击线路的时候，其电压高达百万伏，电流高达数十到数百千安，且等效电源频率很高，线路的电容不可忽视。

可以使用多个$\Pi$形链组成的电路来等效导线的电感、电阻、对地电容和电导沿线的分布，如下图所示。

其中，$L_0,R_0,C_0,G_0$分别代表导线单位长度上的电感、电阻、对地电容与电导。

通常对地电容很小可以忽略，电阻会让波衰减和变形，但为了简化，一般忽略$R_0,G_0$，也就是无损导线，如下图所示。

波阻抗和波速

在等效电路始端给一个直流电压，线路上就有电荷向着x正方向移动去，因为有电感的作用，所以线路上格点电压建立所需的时间是不一样的。另外，电荷会有一部分流到电容当中去，所以同一时间导线各点的电压和电流都不相同，导线上电压和电路都是从始端向着末端逐渐建立起来的。电荷在导线上流动，则对电容$C_0$充电，则导线和大地之间建立起了电场。电荷通过电容$L_0$时，会在周围建立起磁场。

在导线的某一个点上，会出现电场强度E和磁场强度H，他们会以一定的速度向着一个方向移动。无损导线附近的空间内，E和H相互垂直，而且处于同一个平面之内，所以叫做平面波。E和H相互联系，以一定速度移动，叫做平面电磁波，也叫电磁流动波。

假设在时间dt内，波前进了dx，在这段时间，长度为dx的导线电容$C_0\mathrm{d}x$充电到u，获得电荷量为$C_0\mathrm{d}xu$，这些电荷在dt时间内是由电流波i送到电容的。所以有：
$$C_0\mathrm{d}xu=i\mathrm{d}t$$

另外，同样时间dt内，长度为dx的导线上已经建立起来了电流i，这段导线电感是$L_0\mathrm{d}x$，所以产生的磁链是$L_0\mathrm{d}xi$，因为其建立所用时间为dt，则导线上的电压为：
$$u=\frac{\Phi }{\mathrm{d}t}=\frac{L_0\mathrm{d}xi}{\mathrm{d}t}$$

将上述两个式子中的dt和dx校区，就可以得到反应电压波和电流波关系的波阻抗表达式：
$$\begin{gathered} u=\pm \sqrt{\frac{L_0}{C_0}}i=\pm Zi \\ Z=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}} \end{gathered}$$

上述式子可知波速$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，所以可以改写为：
$$\begin{gathered} i=u{C}_{0}v \\ u=i{L}_{0}v \end{gathered}$$

将i和u相乘，可得：
$$ui=u{C}_{0}vi{L}_{0}v$$

就可以求出行波的传播速度为：
$$v=\pm \frac{1}{\sqrt{L_0{C}_0}}$$

正负号表示正反方向。由电压电流关系式可知，在无损均匀导线中，某点的正反方向电压波和电流波的比值是一个常数Z。虽然和电阻的量纲相同，但含义不同：波阻抗只决定于单位长度的电感和电容，和总长度无关，但电阻和长度成正比；波阻抗说明的是周围介质所获得的电磁能的大小，能量不被消耗而是以电磁能形式储存在周围介质，但电阻说明能量转化为热而消耗；波阻抗有正负号，表示不同方向的流动波，而电阻没有。

根据电磁场推导，可得单根导线的单位长度的电感$L_0$和电容$C_0$的表达式：
$$\begin{gathered} L_0=\frac{{\mu }_r{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{2h_p}{r} \\ {C}_0=\frac{2\pi {\epsilon }_r{\epsilon }_0}{\ln \frac{2h_p}{r}} \end{gathered}$$
其中，$h_p=h-\frac{2}{3}f$是导线对地的平均高度，而h是导线悬挂点的高度，f是导线的弧垂；r是导线的半径。

将电容电感表达式带入波阻抗的关系式中，可得波阻抗为：
$$Z=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{\mu }_r{\mu }_0}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}}\ln \frac{2h_p}{r}$$

对于架空线路，带入相关参数可得：
$$Z=60\ln \frac{2h_p}{r}=138\lg \frac{2h_p}{r}$$

通常架空线路的波阻抗在300到500$\mathrm{\Omega }$之间。

对于电缆线路，其波阻抗一般在10到100$\mathrm{\Omega }$之间。

同样可以得到行波的波速为：
$$v=\frac{1}{\sqrt{L_0{C}_0}}=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_r{\mu }_0{\epsilon }_r{\epsilon }_0}}=\frac{3\times 10^8}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}$$

可见波速和周围的介质有关，和导线的几何尺寸以及悬挂高度无关，对于架空线路，波速接近光速，而对于电缆，波速约为光速的一般。

波动方程及其解

将单根导线中取出一个长度单元dx进行研究，如下图所示，则有：

$$\begin{gathered} \mathrm{d}u=\left(u+\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x\right)-u=-L_0\mathrm{d}x\frac{\partial i}{\partial t} \\ \mathrm{d}i=\left(i+\frac{\partial i}{\partial x}\mathrm{d}x\right)-i=-C_0\mathrm{d}x\frac{\partial u}{\partial t} \end{gathered}$$

整理可得：
$$\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial x}=-L_0\frac{\partial i}{\partial t} \\ \frac{\partial i}{\partial x}=-C_0\frac{\partial u}{\partial t} \end{gathered}$$

对上述两式子再求偏导，以解耦：
$$\begin{gathered} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=L_0{C}_0\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2} \\ \frac{{\partial }^{2}i}{\partial x^2}=C_0{L}_0\frac{{\partial }^{2}i}{\partial t^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}i}{\partial t^2} \end{gathered}$$

以上就是描述线路x点处在t时刻的电压和电流的波动方程。解方程的解为：
$$\begin{gathered} u(x,t)=u_f(x-vt)+u_b(x+vt) \\ i(x,t)=\frac{u_f(x-vt)+u_b(x+vt)}{Z}=i_f(x-vt)+i_b(x+vt) \end{gathered}$$

其中，$u_f,u_b,i_f,i_b$是构成电压波和电流波额定两个分量。

前行波和反行波

上面波动方程的解中，有$u_f(x-vt)$，它是关于变量(x-vt)的函数，是随着时间t增加而向着x正方向运动的，叫做前行波；同样有$u_b(x+vt)$，它是关于变量(x+vt)的函数，是随着时间t增加而向着x负方向运动的，叫做反行波。所以就可以将波动方程的解改写为：
$$\begin{gathered} u(x,t)=u_{\to }+u_{\leftarrow } \\ i(x,t)=i_{\to }+i_{\leftarrow } \end{gathered}$$

如下图所示，为前行波的传播，下面分析其物理含义。

假设箭头所指的方向为x的正方向，而波是沿着x的正方向传播。在$t_1$时间，前行波的瞬间分布是虚线所描述，经过时间dt之后，该波以v的速度到达实线所在位置，传播的距离为dx=vdt。从两个时刻看，$u_f(x-vt)$向前移动了dx，用时dt，速度为v。如果观察者在任何一个时刻$t_1$开始，从线路上任意一点$x_1$触发，沿着x正方向，以速度v运动，那么对于任何时刻t和它所在的位置x有关系：
$$x-vt=[x_1+v(t-t_1)]-vt=x_1-v{t}_1=常量$$

所以他观察到的$u_f(x-vt)$保持不变。

一样的道理，$u_b(x+vt)$表示以速度v向着x的反方向传播的电压反行波。

电压波的符号只取决于导线对地电容上相应电荷的符号，和运动方向无关，而电流波的符号既和相应的电荷符号有关，也和电荷的运动方向有关。

综上可得处描述行波在均匀无损单根导线上传播基本规律的四个方程：
$$\begin{gathered} u(x,t)=u_f+u_b \\ i(x,t)=i_f+i_b \\ {u}_f=Z{i}_f \\ {u}_b=-Z{i}_b \end{gathered}$$

上四式的物理意义是：导线上任意一点的电压或电流等于这一点的前行波和反行波之和；前行波电压和电流之比等于Z；反行波电压电流之比等于-Z。

行波的折射和反射

实际中会遇到一条分布参数的长线和波阻抗不同的另一条分布参数的长线或与集中元件的集中阻抗（例如接地电阻R）相连接的情况。不同波阻抗的连接点叫做节点，如果有一个波来到节点，就会发生行波的反射和折射。

折射系数和反射系数

如下图所示，导线1和2分贝有不同的波阻抗$Z_1,Z_2$。两个导线相连接于A点，导线1有一个电压波$u_{1f}$向着导线2传播，则到达节点A的波叫做入射波。在导线1中的反行波$u_{1b}$，是$u_{1f}$到达点A处反射而产生的反射波。通过节点A后在导线2中向前传播的前行波$u_{2f}$，是入射波$u_{1f}$到达点A处发生折射而产生的折射波。

假设导线1和2是无限长直导线，则导线1上总的电流和电压为：
$$\begin{gathered} u_1=u_{1f}+u_{1b} \\ {i}_1=i_{1f}+i_{1b} \end{gathered}$$

因为导线2是无限长直导线，则有$u_{2b}=0,i_{2b}=0$。因为在节点A只能存在一个电压和电流值，也就是导线1和2的分界点上的电流和电压要连续，所以有$u_1=u_2,i_1=i_2$，则：
$$\begin{gathered} u_{1f}+u_{1b}=u_{2f} \\ {i}_{1f}+i_{1b}=i_{2f} \end{gathered}$$

根据电流和电压的关系式可得$i_{1f}=\frac{u_{1f}}{Z},i_{2f}=\frac{u_{2f}}{Z},i_{1b}=-\frac{u_{1b}}{Z}$，带入可得：
$$\begin{gathered} u_{2f}=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}{u}_{1f}=\alpha u_{1f} \\ {u}_{1b}=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}{u}_{1f}=\beta u_{1f} \end{gathered}$$
其中，$\alpha =\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2},\beta =\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}$。$\alpha$表示的是折射电压波和入射电压波的比值，叫做电压波折射系数，总为正值，且$0\le \alpha \le 2$。$\beta$表示的是反射电压波和入射电压波的比值，叫做电压波反射系数，可正可负，且$-1\le \beta \le 1$。易证明存在关系$\beta +1=\alpha$。

1. 线路末端开路，则相当于末端是阻值为$\infty$的电阻，可以计算出$\alpha =2,\beta =1$，那么有$u_{1b}=u_{1f},i_{1b}=-i_{1f}$。如下图所示。
   
   电压发射波和入射波叠加，使得末端电压增大一倍，且电流为零，也就是说波到达末端开路，全部磁场能量变为电场能量，使得电压增加一倍。
2. 线路末端短路，则相当于末端电阻为0，可以计算出$\alpha =0,\beta =-1$，那么有$u_{1b}=-u_{1f},i_{1b}=i_{1f}$。如下图所示。
   
   这个时候电压反射波和入射波数值相等，符号相反，所以末端电压为0，电流上升一倍。也可理解为末端来了个反行波，同时使得电流上升一倍。当波到达短路的末端，全部电场能量转变为磁场能量，使得电流上升一倍。
3. 当两个导线$Z_1\ne Z_2$，其电压和电流波的折射以及反射情况如下图所示：
   
4. 当两个导线$Z_1=Z_2$，不存在行波的反射现象，波形不发生任何变化。当线路的末端接入电阻$R=Z_1$，则和导线$Z_1=Z_2$情况一样，这叫做匹配，入射的电磁波能量全部被R所吸收，变为热。如下图所示。
   

彼得逊法则

从电压折射关系式可得到集中参数的等效电路，如下图所示：

如果想求取折射波的电压，可以将一个内阻为$Z_1$、电源为入射波电压两倍的$2u_{1f}$与波阻抗$Z_2$相串联，那么$Z_2$两端的电压就是折射波的电压$u_{2f}$。这就是彼得逊等效电路。使用的限制条件是线路$Z_2$中没有反行波，或$Z_2$中的反射波还没有到达节点A。

等效波法则

实际上，电网中可能有多根不同线路连接到一个节点X上，如下图所示：

设各条线路的波阻抗分别是$Z_1,Z_2,...,Z_n$，沿着各个线路的电压波分别是$u_{1x},u_{2x},...,u_{nx}$，都入射到X点。在X点还接了一个负载阻抗$Z_x$。计算X点的电压$u_x(t)$和从X点反射到各个线路的电压波$u_{x1},u_{x2},...,u_{xn}$，先根据边界条件列出：
$$u_x+i_x{Z}_{\Sigma }=2u_{\Sigma }$$

其中，$Z_{\Sigma }=\frac{1}{{\sum }_{n=1}^n\frac{1}{Z_n}},u_{\Sigma }=Z_{\Sigma }{\sum }_{n=1}^n\frac{u_{nx}}{Z_n}$

实际上，就相当于这n条导线化成了n个并联电源，每个电源有各自的内阻，然后将这n个电源等效成一个电源。

如下图所示就是等效之后的电路图。

求得$u_x$之后，可以使用下面这个式子求出X点流向每个线路的电压波，也就是反射波为：
$$u_{xn}=u_x-u_{nx}(n=1,...,n)$$