Eigen求解线性方程组

1、线性方程组的应用

线性方程组可以用来解决各种涉及线性关系的问题。以下是一些通常可以用线性方程组来解决的问题：

在实际工程和科学计算中，求解多项式方程的根有着广泛的应用。

在控制系统的设计中，我们经常需要求解特征方程的根来分析系统的稳定性;

在图像处理和模式识别中，多项式方程的根可以用来寻找图像的特征点;

在金融工程和风险管理中，多项式方程的根可以用来对数据进行拟合和预测。

工程问题：工程领域中存在大量的线性关系问题，例如：
- 结构力学：求解结构物体系的平衡状态。
- 电路分析：计算电路中的电流、电压等。
- 控制系统：建立控制系统的数学模型，进行分析和设计。
物理问题：物理学中很多问题都可以归结为线性方程组，例如：
- 运动学和动力学：描述物体在运动过程中的位移、速度、加速度等。
- 电磁学：描述电场、磁场的分布和相互作用。
- 热传导：描述热量在物体内部传递和分布的过程。
优化问题：很多优化问题可以转化为线性方程组求解的问题，例如：
- 线性规划：通过线性方程组求解目标函数的最优值。
- 最小二乘法：拟合数据点到一个线性函数或者多项式，使得残差平方和最小化。
数据分析：数据分析中经常需要拟合数据、估计参数等，这些问题通常可以转化为线性方程组的形式来求解。
金融领域：金融领域中的风险评估、资产定价等问题也可以用线性方程组来描述和求解。
机器学习和模式识别：很多机器学习算法和模式识别方法涉及到解决线性方程组，例如：
- 线性回归：建立线性模型来预测或拟合数据。
- 支持向量机：求解超平面来进行分类。

Eigen提供了多种方法来求解线性方程组，具体取决于方程组的特性、稀疏程度以及性能需求。以下是Eigen中常用的一些线性方程组求解方法：

直接解法：
- LU分解：通过LU分解（或者部分选主元LU分解）来求解稠密矩阵的线性方程组。
- LLT分解：用于对称正定矩阵的Cholesky分解。
- LDLT分解：用于对称矩阵的LDLT分解。
迭代法：
- Jacobi迭代法
- Gauss-Seidel迭代法
- Successive Over-Relaxation (SOR)迭代法
- Conjugate Gradient (CG)方法：用于对称正定矩阵的迭代法。
- BiCGSTAB方法：用于一般非对称矩阵的迭代法。
- GMRES方法：广义最小残差法，用于非对称矩阵的迭代法。
QR分解：通过QR分解求解线性方程组，例如使用Householder QR分解或者ColPivHouseholderQR分解。
SVD分解：使用奇异值分解（Singular Value Decomposition）来求解最小二乘问题或者解决非方阵的线性方程组。
稀疏矩阵求解：对于稀疏矩阵，Eigen也提供了一些特定的求解器，如BiCGSTAB、SparseLU等。