题目描述

题目链接：LCR 166.珠宝的最高价值

算法原理

1.状态表示（题目+经验）

对于这种路径类的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：

• 从 [i, j] 位置出发…
• 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置…

这⾥选择第⼆种定义状态表示的方式：
dp[i][j] 表示：⾛到 [i, j] 位置处，此时珠宝的最大价值。

2.状态转移方程

根据最近的一步划分问题。对于 dp[i][j] ，我们发现想要到达 [i, j] 位置，有两种⽅式：

• 从 [i, j] 位置的上⽅ [i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能 拿到的礼物价值为 dp[i - 1][j] + frame[i][j] ；
• 从 [i, j] 位置的左边 [i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能 拿到的礼物价值为 dp[i][j - 1] + frame[i][j]
  

我们要的是最⼤值，因此状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + frame[i - 1][j - 1];

3.初始化

可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

• 辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；
• 下标的映射关系。

在本题中，添加一行，并且添加⼀列后，所有的值都为 0 即可。

4.填表顺序

根据状态转移方程，填表的顺序是从上往下填写每一行，每一行从左往右。

5.返回值

根据状态表示，我们应该返回 dp[m][n] 的值。

代码实现

C++

class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {
        //1.创建一个dp表
        int m = frame.size(), n = frame[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1,vector<int>(n + 1));
        //2.初始化
        //3.填表
        for(int i = 1;i <= m;++i)
            for(int j = 1;j <= n;++j)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + frame[i - 1][j - 1];
        //4.返回值
        return dp[m][n];
    }
};

Java

class Solution {
    public int jewelleryValue(int[][] frame) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值
        int m = frame.length, n = frame[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + frame[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
}