1143.最长公共子序列

力扣题目链接

文章讲解：1143.最长公共子序列

视频讲解：动态规划子序列问题经典题目 | LeetCode：1143.最长公共子序列

本题其实就跟718.最长重复子数组类似，不要求连续了，但是还是要求相对顺序的。

思路

• 确定dp数组下标及其含义

和之前718.最长重复子数组套路一样，唯一的区别只体现在递推公式中。我们还是使用一个二维dp来表达

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

• 确定递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1]与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

• dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

• 确定遍历顺序

从递推公式可以看出，我们分别从三个方向（当前格的左上、左、上）来得出当前格的值

所以肯定是从前往后，从上到下遍历矩阵

• 打印

以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：

CPP代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

1035.不相交的线

力扣题目链接

文章讲解：1035.不相交的线

视频讲解：动态规划之子序列问题，换汤不换药 | LeetCode：1035.不相交的线

状态：把相同元素连成线，找出那些不相交的线，其实就是啥啊，求两个字符串的最长公共子序列长度

在上题中，我们已经讲过了1143.最长公共子序列

直接copy，就能通过

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
}

53.最大子序列和

力扣题目链接

文章讲解：53.最大子序列和

视频讲解：看起来复杂，其实是简单动态规划 | LeetCode：53.最大子序和

状态：之前我们用贪心算法写过一次本题贪心算法：最大子序和，其实也很简单，这次用动规写一遍，也很简单

思路

• dp数组含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

• 递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

1. dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和

2. nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

需要注意的是，本题的最大值可不一定存在与dp数组的最后一个元素，因为根据dp[i]的定义是以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和。所以后续我们必须用一个容器来装dp数组的最大值，免得最后还要再遍历一遍。

dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值

• 初始化

0下标初始化为nums[0]

其他均初始化为0

• 遍历顺序

从小到大遍历

• 打印

以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

CPP代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};