5.不同路径

5.1题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

• 示例一：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

• 示例二：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

5.2解法一：深度搜索

5.2.1深度搜索思路

5.2.2代码实现

• 最终通过 （38/63个测试用例）

	public int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(1,1,m,n);
    }
    private int dfs(int i,int j,int m,int n){
        //1、超过边界
        if(i>m||j>n){
            return 0;
        }
        //2、终点
        if(i==m&&j==n){
            return 1;
        }
        //3、遍历
        return dfs(i+1,j,m,n)+dfs(i,j+1,m,n);
    }

5.3解法二：动规

5.3.1动规思路

5.3.2代码实现

	public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp=new int[m][n];
        //3、初始化
        for(int i=0;i<m;i++){
            dp[i][0]=1;
        }
        for(int j=0;j<n;j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        //4、遍历顺序
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                //2、递推公式
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

6.不同路径||

6.1题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

• 示例一：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

• 示例二：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

6.2解法：动规

6.2.1动规思路

机器人从（0,0）位置开始后，到达（m-1,n-1）终点

（1）dp数组以及下标含义

dp(i)(j)：从（0,0）出发，到（i,j）有dp(i)(j)条不同路径

（2）递推公式

if(obstacleGrid[i][j]==0){
	dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}

（3）dp数组初始化

for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) 
	dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) 
	dp[0][j] = 1;

（4）确定遍历顺序

从左到右

（5）举例推到dp数组

6.2.2代码实现

	public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m=obstacleGrid.length;
        int n=obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp=new int[m][n];
        //3、初始化
        for(int i=0;i<m && obstacleGrid[i][0]==0;i++){
            dp[i][0]=1;
        }
        for(int j=0;j<n && obstacleGrid[0][j]==0;j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        //4、遍历顺序
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                //2、递推公式
                if(obstacleGrid[i][j]==0){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

7.整数拆分

7.1题目

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

• 示例一：

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

• 示例二：

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

7.2解法：动规

7.2.1动规思路

7.2.2代码实现

	public int integerBreak(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            //j从1开始遍历
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }

8.不同的二叉搜索树

8.1题目

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

• 示例一：

输入：n = 3
输出：5

• 示例二：

输入：n = 1
输出：1

8.2解法：动规

8.2.1动规思路

8.2.2代码实现

	public int numTrees(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                dp[i]+=(dp[j]*dp[i-j-1]);
            }
        }
        return dp[n];
    }