没有上司的舞会

题目描述

某大学有 $n$ 个职员，编号为 $1\dots n$。

他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。

现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 $r_i$，但是呢，如果某个职员的直接上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

输入格式

输入的第一行是一个整数 $n$。

第 $2$ 到第 $(n+1)$ 行，每行一个整数，第 $(i+1)$ 行的整数表示 $i$ 号职员的快乐指数 $r_i$。

第 $(n+2)$ 到第 $2n$ 行，每行输入一对整数 $l,k$，代表 $k$ 是 $l$ 的直接上司。

输出格式

输出一行一个整数代表最大的快乐指数。

样例 #1

样例输入 #1

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

样例输出 #1

5

提示

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 6\times 10^3$，$-128\le r_i\le 127$，$1\le l,k\le n$，且给出的关系一定是一棵树。

树形dp

树形DP准确的说是一种DP的思想，将DP建立在树状结构的基础上。整体的思路大致就是用树形的结构存储数据。

树形DP的关键和实现方法是$dfs$。

先找到树根，
从树根开始运用 $dfs$ 递归，跟$dfs$一样先初始化，然后递归到叶子节点上为止，把最底层的 $f[i][j]$更新完毕，再回来往上走，自底向上地根据题意更新上层的 $f$ 数组，最后输出答案即可。

对于本题，方程为

$$f[u][1]=\sum _{v}f[v][0]+r_u$$
$$f[u][0]=\sum _{v}max(f[v][1],f[v][0])$$
其中，$f[u][1/0]$第一维表示当前根结点的最优值，第二维为选或不选

推导过程

• 对于叶子节点，选它的话对应的$f[叶子][1]$就等于$r[叶子]$（快乐值），不选就是0。（递归到底层的情况）
• 对于中间节点，选它的话那么它的所有儿子均不能选，但它的所有孙子，及孙子的儿子，孙子的孙子等均可考虑，在计算当前节点时已经将它的所有子节点的最优计算好了，即我们只需要加上所有的$f[中间节点的儿子][0]$，即不选儿子节点的情况。因此$$f[中间][1]=\sum _{v}f[中间节点的儿子][0]+r_u$$。
• 若不选当前中间节点，那么它的所有儿子节点都可以考虑，就需要累加上所有儿子节点的最优值即可，因此得出
  $$f[中间][0]=\sum _{v}max(f[中间节点的儿子][1],f[中间节点的儿子][0])$$

注意初始化，所有子节点$f[][1]$初值应为自身happy值$f[][0]$初值应为0，$f[][1]$经过初始化之后就不需要方程中的“$+r_u$”了

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4;
#define int long long int
int n,r[N];
bool fa[N];
vector<int> m[N];
int f[N][2];
void dfs(int cnt){
	f[cnt][0]=0;
	f[cnt][1]=r[cnt];
	for(int i=0;i<m[cnt].size();i++){
		int tmp=m[cnt][i];
		dfs(tmp);
		f[cnt][1]+=f[tmp][0];
		f[cnt][0]+=max(f[tmp][1],f[tmp][0]);
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>r[i];
	}
	int root;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int aa,bb;
		cin>>aa>>bb;
		fa[aa]=1;
		m[bb].push_back(aa);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(fa[i]==0){
			root=i;
			break;
		}
	}
	memset(f,0,sizeof(f));
	dfs(root);
	cout<<max(f[root][0],f[root][1])<<endl;
	return 0;
}

附封面（我们仍未知道那天所见之花的名字）