模块四：前缀和——DP35 【模板】二维前缀和

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题目描述
算法原理
- 解法一：暴力+模拟（时间复杂度为O(n*m*q)）
- 解法二：二维前缀和（时间复杂度为O(m*n)+O(q))
代码实现
- 解法二：前缀和（C++)
- Java

题目描述

题目链接：DP35 【模板】二维前缀和
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PS：读入数据可能很大，请注意读写时间。

算法原理

解法一：暴力+模拟（时间复杂度为O(nmq)）

遍历整个矩阵，每次查询都要遍历，总共q次。

解法二：二维前缀和（时间复杂度为O(m*n)+O(q))

类⽐于⼀维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这⽚区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可：

搞出来前缀和矩阵：这⾥就要⽤到⼀维数组⾥⾯的拓展知识，我们要在矩阵的最上⾯和最左边添加上⼀⾏和⼀列0，这样我们就可以省去⾮常多的边界条件的处理（xdm可以⾃⾏尝试直接搞出来前缀和矩阵，边界条件的处理会让你崩溃的）。处理后的矩阵就像这样：

这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。
注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：
从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减⼀；
从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加一。

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推⼆维前缀和⽅程
sum[i][j] 的含义：sum[i][j] 表⽰，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红⾊区域
在这里插入图片描述
递推⽅程：
其实这个递推⽅程⾮常像我们⼩学做过求图形⾯积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j]位置这段区域分解成下⾯的部分：

sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + ⻩，分析⼀下这四块区域：
i.⻩⾊部分最简单，它就是数组中的 matrix[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系）
ii. 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域，同理，单独的绿也是；
iii. 但是如果是红 + 蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值，美滋滋；
iv. 同理，如果是红 + 绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值；
v. 如果把上⾯求的三个值加起来，那就是⻩ + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了⼀部分红的⾯积，因此再单独减去红的⾯积即可；
vi. 红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i - 1][j - 1]
综上所述，我们的递推⽅程就是：

sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]+matrix[i - 1][j - 1]

使⽤前缀和矩阵：题⽬的接⼝中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这⾥直接先把下标映射成dp 表⾥⾯对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++
接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵，如下图（注意这⾥的 row 和 col 都处理过了，对应的正是 sum 矩阵中的下标）：

对于左上⻆ (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域，正好是红⾊的部分。因此我们要求的就是红⾊部分的⾯积，继续分析⼏个区域：
i. ⻩⾊，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列）
ii. 绿⾊，直接求不好求，但是和⻩⾊拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据；
iii. 同理，蓝⾊不好求，但是蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ；
iv. 再看看整个⾯积，好求嘛？⾮常好求，正好是 sum[row2][col2] ；
v. 那么，红⾊就 = 整个⾯积 - ⻩ - 绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个⾯积 -（绿+ ⻩）-（蓝 + ⻩），这样相当于多减去了⼀个⻩，再加上即可
综上所述：红 = 整个⾯积 - （绿 + ⻩）- （蓝 + ⻩）+ ⻩，从⽽可得红⾊区域内的元素总和为：

sum[row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 - 
1][col1 - 1]

代码实现

解法二：前缀和（C++)

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
   //1.读取数据
   int n = 0,m = 0,q = 0,x1 = 0,y1 = 0,x2 = 0,y2 = 0;//赋初值，养成好习惯
   cin >> n >> m >> q;
   vector<vector<int>> arr(n + 1,vector<int>(m + 1,0));
   for(int i = 1;i < n + 1;i++)
   {
        for(int j = 1;j < m + 1;j++)
        {
            cin >> arr[i][j];
        }
   }

   //2.预处理前缀和矩阵
    vector<vector<long long>> dp(n + 1,vector<long long>(m + 1,0));//防止溢出
    for(int i = 1;i < n + 1;i++)
    {
        for(int j = 1;j < m + 1;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
        }
    }
    
   //3.使用前缀和矩阵
   while(q--)
   {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] -dp[x2][y1 -1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
   }
   return 0;

}

Java

import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int m = in.nextInt();
        int q = in.nextInt();
        int[][] arr = new int[n + 1][m + 1];
        long[][] dp = new long[n + 1][m + 1];
        // 读⼊数据
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                arr[i][j] = in.nextInt();

        // 处理前缀和矩阵
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j];
        // 使⽤前缀和矩阵
        while (q > 0) {
            int x1 = in.nextInt(), y1 = in.nextInt(), x2 = in.nextInt(), y2 = in.nextInt();
            System.out.println(dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]);
            q--;
        }
    }
}