给定N个整数的序列{A1,A2,……AN}，求函数的最大值。

分析：求该序列中最大的连续子列和，若函数最后为负数，返回0作为程序结束。

1.算法1

/*命名为MaxSubseqSum1，A[]:输入整数序列，N：整数序列里面的个数*/
int MaxSubseqSum1( int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;

    for(i = 0; i < N; i++) /*i是子列左端位置*/
    {
        for(j = i; j<N; j++) /*j是子列·右端位置*/
        {
            ThisSum = 0; /*从A[i]-A[j]之间的子列和*/
            for(k = i; k <= j; k++)
                This +=A[k];
            if(ThisSum > MaxSum) /*判断这个子列和是否大于最大子列和*/
                MaxSum = ThisSum; /*更新最大子列和*/
        } /*j循环结束*/
    }/*i循环结束*/

    return MaxSum;
}

 时间复杂度：T(N)=O(N^3)

2.算法2

/*命名为MaxSubseqSum2，A[]:输入整数序列，N：整数序列里面的个数*/
int MaxSubseqSum2( int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j;

    for(i = 0; i < N; i++) /*i是子列左端位置*/
    {
        ThisSum = 0; /*从A[i]-A[j]之间的子列和*/
        for(j = i; j<N; j++) /*j是子列·右端位置*/
        {
            This +=A[j]; /*相同的i不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项*/
            if(ThisSum > MaxSum) /*判断这个子列和是否大于最大子列和*/
                MaxSum = ThisSum; /*更新最大子列和*/
        } /*j循环结束*/
    }/*i循环结束*/

    return MaxSum;
}

时间复杂度：T(N)=O(N^2)

3.算法3：分而治之

 思路：将一个大问题分割成小块，分头解决，最后结果合并。

解决问题：（1）将数组均分成两部分；

（2）递归的解决两边的问题，解决左边问题得到左边的最大子列和，解决右边问题得到右边的最大子列和。从左往右扫描，求最大子列和

（3）求跨越边界的最大子列和。

例：

（1）均分数组

（2）递归到左半边，继续递归左半边

递归到右半边

（3）求跨越边界最大子列和

 

时间复杂度：T(N)=T(N/2)+T(N/2)=O(N)

递推公式：T(N)=2T(N/2)+cN,        T(1)=O(1)

                         =2[2T(N/2^2)+cN/2]+cN

                         =2^kO(1)+ckN        其中，N/2^k=1                

                         =O(NlogN)

3.算法4:在线处理

/*命名为MaxSubseqSum2，A[]:输入整数序列，N：整数序列里面的个数*/
int MaxSubseqSum3( int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum;
    int i;
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for(i = 0; i < N; i++) /*i是子列左端位置*/
    {
        This +=A[i]; /*向右累加*/            
            if(ThisSum > MaxSum) /*判断这个子列和是否大于最大子列和*/
                MaxSum = ThisSum; /*更新最大子列和*/
            else if(This < 0) /*如果当前子列和为负*/
                ThisSum = 0; /*此时相加不能使后面部分和增大，丢弃*/
    }/*i循环结束*/

    return MaxSum;
}

时间复杂度：T(N)=O(N)

在线的意思是，指每输入一个数据就进行即时处理，在任何一个地方中止输入，算法都能正常给出当前的解。