力扣爆刷第127天之动态规划五连刷（整数拆分、一和零、背包）

关于0 1 背包问题的总结

背包问题：一维数组，dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i])。

01背包遍历顺序：

先物品后背包，物品正序，背包逆序。

如若背包正序则会出现同一个物品重复放入，如物品1重量为1，背包空间为1时放入了，背包空间为2时又放入了。
如果先背包后物品，为了避免重复放入背包依然是逆序，背包容量固定时，每种背包容量只能放入一个物品，即为最大的物品，小的物品都放不进来或者被覆盖了。

求组合数排列数：dp[j] += dp[j - nums[i]]

完全背包遍历顺序：

物品背包没有先后顺序，物品背包都是正序。因为同一个物品不限量可以放入多次，在背包采用正序中。

完全背包求组合数，物品在外，背包在内。求排列数，背包在外，物品在内。

一、343. 整数拆分

题目链接：https://leetcode.cn/problems/integer-break/description/
思路：整数拆分是把整数拆分成k个数使其乘积最大，最低是拆分成两个数，根据题目要求的目标定义dp[i]表示i被拆分后相乘的最大值，对于任意一个数来说，最低是拆分成两个数，然后就是两个数以上，我们要求的就是这些情况中的最大值，显然发现是有状态转移的关系的，如dp[i]，如果拆分成两个数，那就是（i-j）* j，如果拆分成两个数以上就是dp[i-j] * j，每一个数都要遍历这些情况，故 dp[i] = Math.max(Math.max(dp[i-j] * j, (i-j)*j), dp[i]);

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i/2; j++) {
                dp[i] = Math.max(Math.max(dp[i-j] * j, (i-j)*j), dp[i]);
            } 
        } 
        return dp[n];
    }
}

二、96. 不同的二叉搜索树

题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/
思路：做动态规划的题目主要是找出重叠子问题，推导出状态转移方程，定义dp[i]表示i个节点的二叉搜索树有多少种结构类型，dp[3]也就是有3个节点我们可以看出，1为根节点有两种，2为根节点有1种，3为根节点有2种，但1为根节点时，右子树有两个节点，这2个节点的种类数量其实是和dp[2]是一样的，由此我们是可以看出关系来的，有N个节点的二叉搜索树的类型数量就等于1-N每一个数字作为根节点时种类数量的累加，这里正好有重叠子问题。故递推公式为dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
以dp[3]推导举例：
1为根节点，dp[0]*dp[2]。
2为根节点，dp[1]*dp[1]。
3为根节点，dp[2]*dp[0]。这里是有复用关系的。

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

三、416. 分割等和子集

题目链接：https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/description/
思路：0 1背包问题，划分等和子集，如果和为偶数就可以划分，奇数就不能划分。偶数可以划分，就等于用数组里的数把总和的一半给填满，那么就可以划分等和子集，从而转化为0 1 背包问题。
0 1 背包特点，物品在外，背包在内，背包逆序。内外关系为的是防止，大物品放入后，小物品无法再放入。背包逆序为的是防止物品重复放入。

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if(sum % 2 == 1) return false;
        sum /= 2;
        int[] dp = new int[sum+1];
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for(int j = sum; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        return dp[sum] == sum;
    }
}

四、1049. 最后一块石头的重量 II

题目链接：https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/description/
思路：求最后一块是否的重量，就是两两抵消，求最后剩余的无法抵消的数，转换思路想一想其实就是尽量把石头分成两堆大小接近的堆，然后比较最小差值，所以题目就转变成了0 1背包问题，总数和的一半作为背包，求的结果后，乘2与总数相减即得最后一块是否的重量。

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0, total = 0;
        for(int i = 0; i < stones.length; i++) {
            total += stones[i];
        }

        sum = total / 2;
        int[] dp = new int[sum+1];
        for(int i = 0; i < stones.length; i++) {
            for(int j = sum; j >= stones[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return total - dp[sum] * 2;
    }
}

五、494. 目标和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/target-sum/description/
思路：0 1 背包求组合数，想办法转化为背包，得到背包空间，因为分为正数和负数，a + b = sum; a - b = target。
a = (sum+target) / 2;
由此可以得到正数背包，从而转变从背包求组合数，定义dp[j]表示，背包空间为j时的物品组合数，那么自然，递推公式为dp[j] += dp[j - nums[i]]; 所以需要初始化为1.

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if(sum < Math.abs(target) || (sum + target) % 2 == 1) return 0;
        int left = Math.abs((sum + target) / 2);
        int[] dp = new int[left+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for(int j = left; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[left];
    }
}