题意

给定一个正整数 $n$，定义 $C(i,j)$ 为：从 $(1,2,3,...,i)$ 中选出 $j$ 个不同的数，构成一个圆排列的不同的方案数

求出：${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^i(C(i,j)modj)$

思路

首先 $C(i,j)=\frac{A_i^j}{j}$，因为普通的排列其实就可以看成是从原排列中的 $j$ 个数，选择一个作为 开头 元素，即 $A_i^j=C(i,j)\times j$

因此 $C(i,j)$ mod $j=\frac{i(i-1)...(i-j+1)}{j}$ mod $j$，注意到分子是连续的 $j$ 个数，因此分子的 $j$ 个数中，一定至少有一个数是 $j$ 的倍数，这个数就是 $j\times \lfloor \frac{i}{j}\rfloor$，那么我们不妨用这个数去和分母作除法，剩下的其他数字模 $j$ 就是 $[1,j-1]$ 都会出现，那么现在就变成：
$C(i,j)$ mod $j=\left((j-1)!\times \lfloor \frac{i}{j}\rfloor \right)$ mod $j$

至此，就出现了经典的威尔逊定理的格式：

当 $p$ 为质数时，$(p-1)!$ mod $p=p-1$

同时，当 $p$ 为大于 $4$ 的合数时，$(p-1)!$ mod $p=0$，因为前 $p-1$ 个数乘积一定会出现 $p$ 的倍数

因此当 $j>4$ 且为合数时，$C(i,j)=0$
当 $p$ 为质数时，$C(i,j)=-\lfloor \frac{i}{j}\rfloor$ mod $j$
当 $p=4$ 时，由于 $(4-1)!=6$ mod $4=2$，最后和 $\lfloor \frac{i}{4}\rfloor$ 乘起来对 $4$ 求模，是以 $0$ 和 $2$ 为值，周期为 $4$ 交替，其实也是类似质数

不妨把 $j$ 交换到循环外层
对于当前质数 $p$，它对答案的贡献是 ${\sum }_{i=j}^n-\lfloor \frac{i}{j}\rfloor$ mod $j$，不难发现，这个值是以 $j$ 为周期变化的，因为是下取整且取模，那么就可以将 $[i,n]$ 分成长度为 $j$ 的若干段，分段计算，一共 $O(\frac{n}{j})$ 段

那么对于所有质数，总复杂度为：$O(n\log n)$ （调和级数复杂度）

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n' 
#define ull unsigned long long

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

typedef long long ll;

const int N = 1000001;
const ll mod = 1e9 + 7;

std::vector<int> primes;
bool vis[N + 5];
ll ans[N + 5];
ll d[N + 5];

void init(){ //欧拉筛
	fore(i, 2, N){
		if(!vis[i])	primes.push_back(i);
		for(auto p : primes){
			if(p * i >= N)	break;
			vis[p * i] = true;
			if(i % p == 0)	break;
		}
	}
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    init();
    /* 处理质数 */
    for(auto p : primes){
    	for(int l = p; l < N; l += p){
    		int r = std::min(l + p - 1, N - 1);
    		ll w = -l / p;
    		w %= p;
    		if(w < 0) w += p;
    		d[l] = (d[l] + w) % mod;
    		d[r + 1] = (d[r + 1] - w + mod) % mod;
    	}
    }
    
    /* 单独处理 j = 4 的情况 */
    int p = 4;
    for(int l = p; l < N; l += p){
    	int r = std::min(l + p - 1, N - 1);
		ll w = l / p;
		w *= -2;
		w %= p;
		if(w < 0) w += p;
		d[l] = (d[l] + w) % mod;
		d[r + 1] = (d[r + 1] - w + mod) % mod;
    }
    
    fore(i, 1, N){
    	d[i] = (d[i - 1] + d[i]) % mod;
    	ans[i] = (ans[i - 1] + d[i]) % mod;
    }
    
    int t;
    std::cin >> t;
    while(t--){
    	int n;
    	std::cin >> n;
    	std::cout << ans[n] << endl;
    }
	return 0; 
}