本节目录
一、Nyquist采样定理
1、Nyquist采样定理的定义
2、Nyquist采样定理的证明
本节内容
一、Nyquist采样定理
如果对某一时间连续信号进行采样，当采样速率达到一定数值时，就可以根据这些采样值准确地确定原信号。
1、Nyquist采样定理的定义
何为Nyquist采样定理？
Nyquist采样定理，假设一个频率带限信号x(t)，其频带限制在(0,fH)内，如果以不小于fs=2fH的采样速率对x(t)进行等间隔采样，得到时间离散的采样信号x(n)=x(nTs),Ts=1/fs即采样间隔，那么原信号x(t)将被所得到的采样值x(n)完全地确定。
单位冲激函数δ(t),构成周期冲激函数p(t)。
对x(t)用采样频率fs进行抽样后得到抽样信号，抽样信号的频谱是原信号频谱通过频移后的多个叠加。
x(t)对应傅里叶变换为X(ω),xs(t)对应傅里叶变换为Xs(ω)。
2、Nyquist采样定理的证明
那么，如何解释Nyquist采样定理？
若原x(t)的频谱X(ω)如下左图，则抽样信号频谱Xs(ω)如下右图
图中Xs(ω)中包含X(ω)的频谱成分，即阴影部分，只要满足ωs≥2ωH,或者说fs≥2fH，这样阴影部分就不会与其他频率成分相混叠。
通常采用一个带宽不小于ωH的滤波器H(ω)，就可以得到原理的信号x(t)。理想滤波器对应的冲击响应h(t)为：
如果fs=2fH时，h(t)=Sa(ωH×t),其中Sa(x)=sin(x)/x，称为抽样函数。
带限信号x(t)=xs(t)*h(t)，也就是说x(t)是xs(t)和h(t)的卷积，即：
上述也就是所谓的采样定理，当采样频率fs满足fs≥2fH时，带限信号可以由其采样值x(n)准确地表示，也就是时间上连续的模拟信号可以用时间上离散的采样值来替换，从而实现模拟信号的数字化处理。
