函数微分和导数的定义

1.我们先来看可导的定义：

相信这个大家都看的懂。

2.接下来我们看可微的定义：

你们有没用想过为什么会有可微，他是用来干什么的，我们接下来看下面这张图，特别是结合图2-11来说，

我们可以看到书上说可微是在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，数学上称为非线性函数的局部线性化。我用自己的语言（人话）解释一下：在平时的搞工程和科学的时候，会遇到像图2-11这样的曲线函数，有可能函数更弯，还打拐，而 $x$ 从 $x_{0}$ 到 $x_{0}+\Delta x$ ，变化量为 $\Delta x$ 时，求对应的 $\Delta y$ ，此时 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，这个式子是个两个曲线函数相减，实践运用中很麻烦，有人想能不能把曲线去掉，变简单点，于是微分就承担这个工作，从图2-11可以看出当 $\Delta x$ 变的很小的时候， $\Delta y=NQ$ 和 $dy=PQ=A\Delta x$ 的差距就会越来越小，最后忽略不计，用 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 代替上面那两个曲线函数相减， $A$ 通常指的就是斜率 $\alpha$ ，也就是 $M$ 点的导数，这时候 $\Delta y$ 就从自变量为 $\Delta x$ 的曲线函数就变成了自变量为 $\Delta x$ 的线性函数。下面这两张图我来解释 $o(\Delta x)$ 这个尾巴怎么回事。

由图2-11， $o(\Delta x)=QN-PQ=PN$ 就是 $\Delta y$ 由曲线函数变为线性函数的代价，也就是误差。可以看到上图证明当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时， $\Delta y$ 和 $dy$ 是同阶无穷小，那他们的误差只能是同阶或更高阶无穷小，那么他们此时的误差 $o(\Delta x)$ 更是无限趋近于0，甚至可以不写。