多项式和Bezier曲线拟合

1. 多项式拟合

在曲线拟合中，多项式拟合方法的性能受到三个主要因素的影响：采样点个数、多项式阶数和正则项。

采样点个数 $N$ ：从Figure 1中可以看出较少的采样点个数可能导致过拟合（overfitting）问题，即拟合曲线过于贴合训练数据，但在新数据上的泛化能力较差。而较多的采样点个数可以提供更多的信息，有助于拟合更精确的曲线，但也会增加计算的复杂性，所以当采样点增加到100时所有方法的拟合效果都很好。
多项式阶数 $M$ ：随着多项式的阶数增加，模型的复杂度也随之增加。高阶多项式可以更好地拟合复杂的曲线，但也容易发生过拟合，比如9阶比3阶在采样点较少时表现非常差。如果选择了过低的多项式阶数，模型可能无法捕捉到数据中的复杂模式，但由于该曲线比较简单，所以在图中无法体现这一点。
正则项 $\lambda$ ：正则项用于控制模型的复杂度，避免过拟合。它通过在损失函数中引入一个惩罚项，限制模型参数的大小。更大的正则化参数（如L1或L2正则化中的λ值）会使得模型更加趋向于简单的拟合曲线。如果正则化参数过大，可能导致欠拟合（underfitting）问题，模型无法很好地拟合数据。我们这里选择 $ln\lambda=-3$ 在9阶多项式拟合中表现比较合适，采样点较少时大大降低模型复杂度，拟合结果更贴合真实曲线。

# 使用多项式拟合
def polynomial_fit(x, y, degree, alpha=None):
    coeffs = np.polyfit(x, y, degree, rcond=alpha)
    return coeffs

# 返回拟合曲线的计算结果
def polynomial_curve(x, coeffs):
    return np.polyval(coeffs, x)

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Fig. 1. 曲线拟合结果. a, 3阶多项式分别在10,15,100个采样点上的拟合结果. b, 9阶多项式分别在10,15,100个采样点上的拟合结果. c, 9阶多项式(添加正则项, ln λ=-3)分别在10,15,100个采样点上的拟合结果. d, Bezier曲线分别在10,20,100个采样点上的拟合结果.

2. Bezier曲线拟合

Bezier曲线是计算机图形学中广泛使用的一种参数曲线，它由一组控制点定义，并可以创建平滑的曲线路径。这种曲线在图形设计、动画和其他领域有着广泛的应用。在数据分析和信号处理领域，Bezier曲线也可以用来对散点数据进行平滑拟合。

我们这里将采样点作为Bezier曲线的控制点进行拟合，采样点较少时不如3阶多项式，而采样点达到20个及以上时效果有了明显提升。

在实践中，确定合适的贝塞尔曲线控制点是一个迭代的过程，需要根据实际情况不断调整和改进。经验和直觉在初始阶段可能起到重要的作用，但通过实际观察和评估，结合优化算法和交叉验证，可以逐步优化控制点的位置，以获得更好的拟合效果和形状调整。

下面源码是简单的Bezier曲线拟合实现：

# 使用贝塞尔（Bernstein basis）曲线进行拟合
class BezierCurve:
    def __init__(self, control_points, ):
        self.control_points = control_points
        self.n = len(control_points) - 1

    def bernstein_basis(self, i, n, t):
        """Calculate the i-th Bernstein basis polynomial of degree n at t."""
        return np.math.comb(n, i) * (t ** i) * ((1 - t) ** (n - i))

    def evaluate(self, t):
        """Evaluate the Bezier curve at the given parameter t."""
        point = np.zeros_like(self.control_points[0])
        for i in range(self.n + 1):
            point += self.control_points[i] * self.bernstein_basis(i, self.n, t)
        return point

    def fit(self, samples):
        """Fit the Bezier curve to the given samples using the least squares method."""
        t = np.linspace(0, 1, self.n + 1)
        A = np.zeros((len(samples), self.n + 1))
        for i, sample in enumerate(samples):
            for j in range(self.n + 1):
                A[i, j] = self.bernstein_basis(j, self.n, t[i])
        b = samples
        x, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
        self.control_points = x