该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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3.控制系统校正的根轨迹法

3.1 概述

• 根轨迹法是一种图解法，描述了系统某一参数从零变化到无穷大时，其闭环极点位置的变化；
• 通过引入适当的校正装置来改变原来系统的根轨迹，以获得期望的系统性能；
• 引入校正装置即在系统中增加零极点，通过零极点的变化改变根轨迹的形状；
• 用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零极点来改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在$s$平面上通过希望的闭环极点；
• 根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，零点和附加的极点会影响响应特性；
• 应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上；
• 在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间；
• 在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间；
• 当系统性能指标是以最大超调量、上升时间、调节时间、阻尼比，及希望的闭环阻尼比、闭环极点无阻尼频率等表示时，采用根轨迹法进行校正较为方便；
• 采用根轨迹法确定串联校正参数的条件是：
  • 已确定采用串联校正方案；
  • 给定时域指标：${\sigma }_p、t_s、e_{ss}(\infty )$；

3.2 基于根轨迹法的超前校正

用根轨迹法设计超前校正装置步骤：

• 先假定系统的控制性能由靠虚轴最近的一对闭环共轭极点$s_d$主导；

• 应用二阶系统参量$\zeta$和${\omega }_n$与时域指标之间的关系，按给定的${\sigma }_p$和$t_s$确定闭环主导极点的位置；

• 绘制原系统根轨迹，如果根轨迹不能通过希望的闭环主导极点，则表明仅调整增益不能满足给定要求，需要增加校正装置；如果原系统根轨迹位于期望极点的右侧，则应加入超前校正装置；

• 计算超前校正装置应提供的超前相角；

• 按下式计算校正装置零极点位置：
  $${\phi }_c=\pm (2k+1)\pi -\angle G_0(s_d)$$

• 由幅值条件确定校正后系统增益；

• 校验系统的性能指标，如果系统不能满足要求指标，适当调整零极点位置；如果需要大的静态误差系数，则应采用其他方案；

3.3 基于根轨迹法的滞后校正

用根轨迹法设计滞后校正装置步骤：

• 绘制出未校正系统的根轨迹；
• 根据要求的瞬态响应指标，确定希望的闭环主导极点，根据根轨迹的幅值条件，计算与主导极点对应的开环增益；
• 按给定的性能指标中关于稳态误差的要求，计算应增大的误差系数值；
• 由应增大的误差系数值确定校正装置$\beta$值，通常$\beta$取值不超过$10$；
• 确定滞后校正装置的零极点，原则是使零极点靠近坐标原点，且两者相距$\beta$倍；
• 绘制校正后系统的根轨迹，并求出希望的主导极点；
• 由希望的闭环极点，根据幅值条件，适当调整放大器的增益；
• 校验校正后系统各项性能指标，如不满足要求，则适当调整校正装置零极点位置；

3.4 基于根轨迹法的超前滞后校正

用根轨迹法设计超前滞后校正装置步骤：

• 根据要求的性能指标，确定希望的主导极点$s_d$位置；

• 为使闭环极点位于希望的位置，计算超前滞后校正中超前部分应产生的超前相角：
  $${\phi }_c=\pm (2k+1)\pi -\angle G_0(s_d)$$

• 超前滞后校正装置的传递函数为：
  $${\phi }_c=\pm (2k+1)\pi -\angle G_0(s_d)，G_c(s)=K_c\left(\frac{s+\frac{1}{T_1}}{s+\frac{\beta }{T_1}}\right)\left(\frac{s+\frac{1}{T_2}}{s+\frac{1}{T_2\beta }}\right)$$

• 对超前滞后校正中滞后部分的$T_2$选择要足够大，即：
  $$\left|\begin{array}{c}\frac{s_d+\frac{1}{T_2}}{s_d+\frac{1}{T_2\beta }}\end{array}\right|=1，\left|\begin{array}{c}\frac{s_d+\frac{1}{T_1}}{s_d+\frac{\beta }{T_1}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}{K}_1{G}_0(s_d)\end{array}\right|=1，\angle \left(s_d+\frac{1}{T_1}\right)-\angle \left(s_d+\frac{\beta }{T_1}\right)=\phi$$

• 利用求得的$\beta$值，选择$T_2$，使：
  $$\left|\begin{array}{c}\frac{s_d+\frac{1}{T_2}}{s_d+\frac{1}{T_2\beta }}\end{array}\right|\approx 1，0°<\angle \left(\frac{s_d+\frac{1}{T_2}}{s_d+\frac{1}{T_2\beta }}\right)<3°$$

• 检验性能指标。

3.5 MATLAB/SIMULINK在根轨迹法校正中的应用

3.5.1 实战1：超前校正

实验要求：已知控制系统开环传递函数为：$G(s)=\frac{2.3}{s(1+0.2s)(1+0.15s)}$，设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数$K_v\le 4.6$，闭环主导极点满足阻尼比$\zeta =0.2$，自然振荡角频率${\omega }_n=12.0rad/s$，绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解：

【$STEP1$】：计算串联超前校正环节参数子函数程序设计。

% get_param子函数，文件名：get_param.m
function Gc=get_param(G,s1,kc)
numG=G.num{1};denG=G.den{1};
ngv=polyval(numG,s1);dgv=polyval(denG,s1);
g=ngv/dgv;
theta_G=angle(g);theta_s=angle(s1);
MG=abs(g);Ms=abs(s1);

Tz=(sin(theta_s)-kc*MG*sin(theta_G-theta_s))/(kc*MG*Ms*sin(theta_G));
Tp=-(kc*MG*sin(theta_s)+sin(theta_G+theta_s))/(Ms*sin(theta_G));

Gc=tf([Tz,1],[Tp,1]);

【$STEP2$】：求解系统校正环节传递函数和校正后闭环传递函数及各响应曲线。

% 实例Chapter8.3.5.1
clc;clear;

% 建立校正前控制系统开环传递函数
num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1]));
G=tf(num,den);

% 校正后系统的性能要求
zeta=0.2;wn=12.0;
[num,den]=ord2(wn,zeta);
s=roots(den);
s1=s(1);kc=2;
Gc=get_param(G,s1,kc);

GGc=G*Gc*kc;                    % 校正后系统开环传递函数
G_bf_close=feedback(G,1);       % 校正前系统闭环传递函数
G_af_close=feedback(GGc,1);     % 校正后系统闭环传递函数

% 绘制单位阶跃响应
figure(1);
step(G_af_close,'b',3.5);hold on;
step(G_bf_close,'r',3.5);grid;
legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);

% 绘制单位脉冲响应
figure(2);
impulse(G_af_close,'b',3.5);hold on;
impulse(G_bf_close,'r',3.5);grid;
legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);

% 绘制校正前后系统根轨迹图
figure(3);
rlocus(G,GGc);grid;
legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);

% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数
Gc,G_af_close

% 校正环节传递函数
Gc = 
  1.016 s + 1
  ------------
  0.0404 s + 1

% 校正后系统闭环传递函数
G_af_close = 
                       4.672 s + 4.6
  -------------------------------------------------------
  0.001212 s^4 + 0.04414 s^3 + 0.3904 s^2 + 5.672 s + 4.6

【$STEP3$】：系统校正前后单位阶跃响应曲线。

【$STEP4$】：系统校正前后单位脉冲响应曲线。

【$STEP5$】：系统校正前后根轨迹。

【$STEP6$】：性能分析。

• 串联超前校正环节传递函数为：$G_c(s)=\frac{1.016s+1}{0.0404s+1}$；
• 由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调：$\sigma =17.3\%$，上升时间：$t_r=0.58\mathrm{s}$，调节时间：$t_s=2.92\mathrm{s}$；
• 由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调：$\sigma =31.7\%$，上升时间：$t_r=0.123\mathrm{s}$，调节时间：$t_s=2.3\mathrm{s}$；
• 因此，系统经串联超前校正后，系统性能提高；
• 从根轨迹图知，校正后系统根轨迹左移，提高系统相对稳定性，缩短系统调节时间；

3.5.2 实战2：滞后校正

实验要求：已知系统开环传递函数为：$G(s)=\frac{4}{s(s+2.5)}$，设计串联滞后校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数：$K_v\le 6$，闭环主导极点满足阻尼比：$\zeta =0.407$，绘制校正前后系统单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应、根轨迹。

解：

【$STEP1$】：计算串联滞后校正环节参数子函数程序设计。

% get_param_02子函数，文件：get_param_02.m
function [Gc,kc]=get_param_02(G,zeta,wc,Tz)
G=tf(G);[r,k]=rlocus(G);
za=zeta/sqrt(1-zeta^2);

ri=r(1,find(imag(r(1,:))>0));
ra=imag(ri)./real(ri);
kc=spline(ra,k(find(imag(r(1,:))>0)),1/za);

syms x;syms ng;syms dg;
ng=poly2sym(G.num{1});dg=poly2sym(G.den{1});
ess=limit(ng*kc/dg*x);
beta=round(100/sym2poly(ess)/wc);Tp=Tz/beta;
Gc=tf([1,Tz],[1,Tp]);

【$STEP2$】：求解系统校正环节传递函数和校正后闭环传递函数及各响应曲线。

% 实例Chapter8.3.5.2
clc;clear;

% 建立校正前控制系统开环传递函数
num=4;den=conv([1,0],[1,2.5]);
G=tf(num,den);

% 校正后系统的性能要求
zeta=0.407;wc=6;Tz=0.1;
[Gc,Kc]=get_param_02(G,zeta,wc,Tz);

GGc=G*Gc*Kc;                    % 校正后系统开环传递函数
G_bf_close=feedback(G,1);       % 校正前系统闭环传递函数
G_af_close=feedback(GGc,1);     % 校正后系统闭环传递函数

% 绘制单位阶跃响应
figure(1);
step(G_af_close,'b');hold on;
step(G_bf_close,'r');grid;axis([0 15 0 1.4]);
legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);

% 绘制单位脉冲响应
figure(2);
impulse(G_af_close,'b');hold on;
impulse(G_bf_close,'r');grid;
legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);

% 绘制校正前后系统根轨迹图
figure(3);
rlocus(G,GGc);grid;
legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);

% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数
Gc,Kc,G_af_close

% 滞后校正环节传递函数
Gc = 
   s + 0.1
  ---------
  s + 0.025

% 系统增益
Kc =
    2.3581

% 校正后系统闭环传递函数
G_af_close = 
           9.433 s + 0.9433
  ----------------------------------
  s^3 + 2.525 s^2 + 9.495 s + 0.9433

【$STEP3$】：系统校正前后单位阶跃响应曲线。

【$STEP4$】：系统校正前后单位脉冲响应曲线。

【$STEP5$】：系统校正前后根轨迹。

【$STEP6$】：性能分析。

• 串联滞后校正环节传递函数为：$G_c(s)=\frac{s+0.1}{s+0.025}$；
• 由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调：$\sigma =8.08\%$，上升时间：$t_r=0.961\mathrm{s}$，调节时间：$t_s=2.99\mathrm{s}$；
• 由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调：$\sigma =27.4\%$，上升时间：$t_r=0.478\mathrm{s}$，调节时间：$t_s=2.3\mathrm{s}$；
• 因此，系统经串联滞后校正后，系统性能提高；

3.5.3 实战3：超前滞后校正环节

实验要求：已知系统开环传递函数为：$G(s)=\frac{8}{s(s+0.4)}$，设计超前滞后校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数：$K_v\le 5$，闭环主导极点满足阻尼比：$\zeta =0.2$和自然振荡角频率：${\omega }_n=5rad/s$，相角裕度为：$50°$，绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解：

【$STEP1$】：主函数。

% 实例Chapter8.3.5.3
clc;clear;

% 建立控制系统模型
z=[];p=[0,-0.4];k=8;
Gz=zpk(z,p,k);G=tf(Gz);
zeta=0.2;wn=5;
kc=1;Tz=0.1;dPm=50+5;
ng=G.num{1};            % 把G.num中的第一个元胞赋给ng.
[num,den]=ord2(wn,zeta);
s=roots(den);
s1=s(1);

Gc1=get_param(G,s1,kc);
G1=G*Gc1*kc;

[Gc2,Kc2]=get_param_02(G,zeta,wn,Tz);
GGc=G1*Gc2*Kc2;                 % 校正后系统开环传递函数
G_bf_close=feedback(G,1);       % 校正前系统闭环传递函数
G_af_close=feedback(GGc,1);     % 校正后系统闭环传递函数

% 绘制单位阶跃响应
figure(1);
step(G_af_close,'b');hold on;
step(G_bf_close,'r');grid;
legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);

% 绘制单位脉冲响应
figure(2);
impulse(G_af_close,'b');hold on;
impulse(G_bf_close,'r');grid;
legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);

% 绘制校正前后系统根轨迹图
figure(3);
rlocus(G,GGc);grid;
legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);

% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数
Gc1,Gc2,G_af_close

【$STEP2$】：超前环节传递函数、滞后环节传递函数和校正后闭环传递函数。

% 超前校正环节传递函数
Gc1 = 
  1.358 s + 1
  -----------
  0.425 s + 1

% 滞后校正环节传递函数
Gc2 = 
   s + 0.1
  ----------
  s + 0.0125

% 校正后系统闭环传递函数
G_af_close = 
              1.358 s^2 + 1.136 s + 0.1
  -------------------------------------------------
  0.425 s^4 + 1.175 s^3 + 1.773 s^2 + 1.141 s + 0.1

【$STEP3$】：单位阶跃响应曲线。

【$STEP4$】：单位脉冲响应曲线。

【$STEP5$】：系统根轨迹曲线。

【$STEP6$】：系统性能分析。

• 串联超前滞后校正环节传递函数为：$G_c(s)=0.125\times \frac{s+0.1}{s+0.0125}\times \frac{1.358s+1}{0.425s+1}$；
• 由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调：$\sigma =79.9\%$，上升时间：$t_r=0.384\mathrm{s}$，调节时间：$t_s=19.1\mathrm{s}$；
• 由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调：$\sigma =28.9\%$，上升时间：$t_r=0.907\mathrm{s}$，调节时间：$t_s=4.19\mathrm{s}$；
• 因此，系统经串联超前滞后校正后，系统性能提高；