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什么是时间复杂度？
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
如何计算时间复杂度？
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
void func1(int n)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
count++;
}
}
for (int k = 0; k < 2*n; k++)
{
count++;
}
int x = 10;
while (x--)
{
count++;
}
printf("%d\n",count);
}在func1中count++执行了多少次？
答：F（n）= n^2 + 2*n +10
在上面的问题中:
| N | F(N) |
| 10 | 130 |
| 100 | 10210 |
| 1000 | 1002010 |
我们发现，当n越来越大，对最终结果最具有影响的项为：N^2（最高阶项）
有的同学会问：那如果n等于一个很小的数呢？（比如1，2，3……）
答：随着计算机的发展，由于计算机速度很快，当n很小的时候计算时间还不到1ms，可以忽略不计了。
我们看下面的结果：（时间单位都为ms）
所以我们在计算时间复杂读度的时候，只保留对结果影响最大的一项。
具体计算方法看下面的大O渐近表示法。
大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O（n）
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
计算冒泡排序的时间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);//两数交换
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}基本操作执行最好情况N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最
坏，时间复杂度为 O(N^2）
注意：最坏情况展开是：(n^2)/2 + n/2 我们选最高次项(n^2)/2，这里前面的因数1/2直接舍去（对结果影响不大）
计算二分查找的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}基本操作执行最好1次（中间数即为要查找的数），最坏O(logN)次（直到最后一次查找才查找出来），时间复杂度为 O(logN)。(logN在算法分析中表示是底数为2)
为什么最坏是log(n)次?
答：假设最坏查找x次，一共N个数，每次查找都要除去1/2的数，最后仅剩一个数，就有N((1/2)^x )= 1。化简取对数得x = log(N).
计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}基本操作递归执行了N次（每一次调用函数都需要前一个函数的基础，直到调用到fac(1)停止），时间复杂度为O(N)
计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}基本操作递归执行了N^2次（每一次调用都需要前面两个函数的值为基础，类似于杨辉三角）时间复杂度为O(N^2)
本期博客到这里就结束了，如果有什么错误，欢迎指出，如果对你有帮助，请点个赞，谢谢！
