【信号与系统 - 10】拉普拉斯变换

1 定义

周期信号的傅里叶变换那篇提到了： $F(jw)=\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-jwt}f(t)dt$ 这个定义式需要满足绝对可积，即 $\int^{+\infty}_{-\infty}|f(t)|dt<+\infty$ ，例如： $e^{\alpha t}u(t)$ 在 $\alpha>0$ 时不存在傅里叶变换
如果将 $f (t)$ 乘以一个收敛趋势的函数 $e^{-\sigma t}$ （ $\sigma>0$ ），则信号绝对可积，则：

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-(\sigma+jw)t}dt$

其中 $s=\sigma+jw$ ，则：

$L[f(t)]=X(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$

所以傅里叶变换其实就是拉普拉斯变换的一种特例——即当复频率为纯虚数时

2 拉氏变换的收敛域 $ROC$

例、 $f(t)=e^{-\alpha t}u(t)$ ，在 $\alpha>0$ 时，对应的 $F (j w)$ 收敛

$F(jw)=\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}e^{-jwt}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(\alpha+jw)t}dt=-\frac{1}{\alpha+jw}\bigg[e^{-(\alpha+jw)t}\bigg]^{t=\infty}_{t=0}=\frac{1}{\alpha+jw}$
其拉氏变换为：

$X(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-(\alpha+s)t}dt=-\frac{1}{\alpha+s}\bigg[e^{-(\alpha+s)t}\bigg]^{t=\infty}_{t=0}=-\frac{1}{(\alpha+\sigma)+jw}\bigg[e^{-[(\alpha+\sigma)+jw]t}\bigg]^{t=\infty}_{t=0}$

其中 $e^{-[(\alpha+\sigma)+jw]\cdot\infty}$ 需要 $\alpha+\sigma>0$ 时收敛为 $0$ ，即 $\sigma>-\alpha$ ，收敛域为 $Re\{s\}>-\alpha$

$e^{-\alpha t}u(t)\leftrightarrow\frac{1}{\alpha+s},Re\{s\}>-\alpha$

由于 $\alpha>0$ ，则存在 $Re\{s\}=0$ ，即 $\sigma=0$ ，则：

$X(s)=X(0+jw)=\frac{1}{\alpha+jw}$

此时，拉普拉斯变换就是傅里叶变换：

$X(s)\bigg|_{s=jw}=F(jw)$

总结：
①拉氏变换和傅里叶变换一样存在收敛问题，并不是所有信号的拉普拉斯变换都存在（即不是S平面上任何复数都能使拉普拉斯变换收敛）

②不同的信号可能有相同的拉普拉斯变换表达式，区别他们的方式就是看收敛域

3 零极点图

$f(t)=e^{-t}u(t)$
$X(s)=\frac{1}{1+s},Re\{s\}>-1$

在这里插入图片描述

按照 $ROC$ 标准可以将 $f (t)$ 分成四类：

①时限信号（有始有终）： $ROC$ 为整个平面
例、 $f(t)=e^{-t}[u(t)-u(t-1)]$
$X(s)=\int_{0}^{1}e^{-(1+s)t}dt=-\frac{1}{1+s}\bigg[e^{-(1+s)t}\bigg]^{t=1}_{t=0}$
此时 $Re\{s\}$ 可以随便取，即 $ROC$ 为整个复平面
②右边信号（有始无终）： $ROC$ 向右
③左边信号（无始有终）： $ROC$ 向左
④双边信号（无始无终）： $ROC$ 为带状
例、 $f(t)=e^{-t}u(t-2)+e^{t}u[-(t+2)]$
$X(s)=\int_{2}^{+\infty}e^{-(1+s)t}dt+\int_{-\infty}^{-2}e^{(1-s)t}dt=-\frac{1}{1+s}\bigg[e^{-(1+s)t}\bigg]^{t=\infty}_{t=2}+\frac{1}{1-s}\bigg[e^{(1-s)t}\bigg]^{t=-2}_{t=-\infty}$
需要 $e^{-(1+s)\infty}$ 与 $e^{(1-s)\cdot-\infty}$ 收敛：
$\begin{cases} Re\{s\}>-1\\ Re\{s\}<1\\ \end{cases}$
则 $Re\{s\}\in(-1,1)$