1.介绍

树状数组是一个比较难以理解的高级数据结构（至少我觉得很难😢）

由于难以理解，所以只好从以下几个方面去理解：

1. 树状数组用于解决什么问题
2. 如何去使用树状数组
3. 树状数组是否优化了算法
4. 用例子说明

新手不要去死钻“树状数组怎么被总结出来的？树状数组的发明过程”，如果有完美的回答感谢给个链接我去圆梦一下😢

！！对于这个学习，我的看法是先知道什么是树状数组，怎么写，然后根据数据和画图走几遍过程，然后做题。最后再去看数学推导（如果时间充裕的话）。

Q1:树状数组解决什么问题？

预告：数状数组解决”单点修改，区间查询(当然区间也可以是一个点)“问题

首先前缀和是大家都知道的基础算法。假设前缀和数组是$pre[n]$,原数组是$a[n]$
$$pre[i]表示数组区间[0,i]之和=a[0]+a[1]+a[2]+...+a[i]$$
查询区间的时间复杂度是$O(1)$,比如: 查询 $[i,j]$之和=$pre[j]-pre[i-1]=a[i]+a[i+1]+...+a[j]$,很显然只需要一次操作即可。
重点来了！！ 如果修改原数组的一个元素，假设$a[0]=a[0]+1$,那么需要$pre[0]+1$，$pre[1]+1$…$pre[n]+1$
总结发现，每次修改一个原数组元素，当前元素到数组末尾的所有元素的前缀和都需要改变，那么维护前缀和的时间复杂度是$O(n)$，树状数组就是优化掉这个O(n)的大杀器！

总结一下：数状数组解决”单点修改，区间查询(当然区间也可以是一个点)“问题

Q2:树状数组的使用

😱😱😱😱😱

1.前置知识：lowbit(x)

$lowbit(x)$，找x最低位的1及1右边(比1更低位)的所有数的总和，当然最低位1右边全是0

x的十进制数	x的二进制数	lowbit(x)（换成十进制）
10	1010	2
11	1011	1
12	1100	4
13	1101	1
14	1110	2
15	1111	1
16	0001 0000	16

现在应该是了解lowbit做一个什么事情，那么如何实现呢？

void lowbit(x)
{
	return x&(-x);
}

对的，就是这么简单
对数取负表现为 ”除最高位，其余位取反，最低位加1”
来翻译一下: 令x=10
x=1010
-x=1110
x&(-x)=0010

Perfect😋。

2.单点修改

不同于前缀和数组，修改一个点，需要修改O(n)次前缀和区间，而树状数组只需要修改O( ${\log }_{2}n$）次
操作为

void add(int i, int y)  //单点修改（同时可以初始化C数组)
{
	for(;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
	    C[i]+=y;
	}
}

3.求[1,n]的和

不同于前缀和O(1)次，查询前n个数的和需要O( ${\log }_{2}n$）次
操作为

int sum(int i)  //前缀和,求[1，i]的和
{
    int res=0;
	for(;i>0;i-=lowbit(i))
	    res+=C[i];
	return res;
}

4.区间查询

操作为

int Query(int i,int j)  //查询[1,j]区间和
{
	return sum(i)-sum(j-1);
}

5.hh

很显然，已经给出了单点修改，区间查询的操作，且时间复杂度实实在在更低更有效，比单纯使用前缀和好很多。那么有这些知识就可以去写题了。

Q3:树状数组是否优化了

和前缀和相比：

	前缀和	树状数组
区间查询	O(1)	O(${\log }_{2}n$)
单点修改	O(n)	O(${\log }_{2}n$)

当n非常大的时候
$$1+n>2\ast ({\log }_{2}n)$$

Q4:上图上例子解释上面说的东西(Important)

这个图是 借的，嗯，肯定是借的。
别被误导了!!,C数组不是前缀和，C[4]不是前4个数之和，这个数组单独看没有意义，只有和函数配合使用才有意义！！

现在先抛出问题：需要对数组进行单点修改，区间查询。

现在有数组$$A[1]...A[8]=1,2,3,4,5,6,7,8$$
先初始化树状数组C,这个数组单独不代表什么，要和其它操作一起才有意义

void add(int i, int y)  //单点修改（同时可以初始化C数组)
{
	for(;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
	    C[i]+=y;
	}
}

C[i]+=y	i+=lowbit(i),C[i]+=y	i+=lowbit(i) ,C[i]+=y	i+=lowbit(i),C[i]+=y
C[1]+=1	C[2]+=1	C[4]+=1	C[8]+=1
C[2]+=2	C[4]+=2	C[8]+=2
C[3]+=3	C[4]+=3	C[8]+=3
C[4]+=4	C[8]+=4
C[5]+=5	C[6]+=5	C[8]+=5
C[6]+=6	C[8]+=6
C[7]+=7	C[8]+=7
C[8]+=8

i	C[i]
1	1
2	3
3	3
4	10
5	5
6	11
7	7
8	36

这就是初始化树状数组，那么先来看查询。
查询 (对照上面的表看，自己琢磨一下）

int sum(int i)  //前缀和,求[1，i]的和
{
    int res=0;
	for(;i>0;i-=lowbit(i))
	    res+=C[i];
	return res;
}

i	sum(i)
1	res=C[1]=1
2	res=C[2]=3
3	res=C[3]+C[2]=6
7	res=C[7]+C[6]+C[4]=28
8	res=C[8]=36

2.习题练习

给个链接，兄弟们去刷吧😋
洛谷树状数组题集
Leetcode树状数组题集

洛谷的先做题集里面的模板题

稍后把我的题解搬几个过来。