本篇为本科课程《电力系统稳态分析》的笔记。

本篇为这一章的第三篇笔记。上一篇传送门。

辐射型网络和简单闭式网络的潮流估算方法

辐射型网络的潮流估算方法

指的是在网络中不含环形电路，为开式网络，而且全部负荷都只能用一个电源来供电的网络。

下图为为一个简单的辐射型网络。

将他等效成一个等值电路。其中的线路网络参数均为已知。

已知末端功率${\tilde{S}}_2$和末端电压${\dot{U}}_2$的情况

带入线路的参数、$S_2$和${\dot{U}}_2$，就可以通过下面式子可以求出${\dot{U}}_1$
$${\dot{U}}_1={\dot{U}}_2+\mathrm{d}{\dot{U}}_2$$

再求出变压器的串联支路功率：
$$\Delta S_{ZT}=\frac{S_2^2}{U_2^2}(R_T+j{X}_T)$$

功率相加：$S_T^{\prime }=S_2+\Delta S_{ZT}$。

上面已经求出了${\dot{U}}_1$，可以计算变压器的并联支路的功率$\Delta S_{YT}$，随后在功率相加：$S_1=S_T^{\prime }+\Delta S_{YT}$。

同时，使用${\dot{U}}_1$，可以计算出线路的并联支路功率$\Delta S_{Y2}$，然后功率相加：$S_1^{\prime \prime }=S_1+\Delta S_{Y2}$。

带入线路的参数、$S_1^{\prime \prime }$和${\dot{U}}_1$，通过下面的式子可以求出${\dot{U}}_G$
$${\dot{U}}_G={\dot{U}}_1+\mathrm{d}{\dot{U}}_1$$

再求出线路的串联支路功率：
$$\Delta S_{ZL}=\frac{S_1^{\prime \prime 2}}{U_1^2}(R_L+j{X}_L)$$
然后功率相加：$S_1^{\prime }=S_1^{\prime \prime }+\Delta S_{ZL}$

然后使用${\dot{U}}_G$，可以计算线路的并联支路功率$\Delta S_{Y1}$，最后再做功率相加，计算出：$S_G=\Delta S_{Y1}+S_1^{\prime }$

可见，上面的计算十分有秩序，按照从末端到首端的顺序依次逐个计算。

已知首端发电机电压$U_G$和末端功率$S_2$

由于已知条件不是在一端，而是一端各已知一个条件，所以不能直接挨个从一端计算到另一端。

第一步：计算近似的功率分布

先近似的认为各个母线的电压都等于额定电压，且他们的相位都等于零，对于本示例网络而言，即令${\dot{U}}_i=1\angle 0°(i=1,2)$

然后从末端向着首端进行计算，此时的末端已知功率再加上假设的电压值，就可以进行计算功率了。

对于串联支路，计算公式为$\Delta S_Z=\frac{S^2}{U^2}(R+jX)$，对于并联支路，计算公式为$\Delta S_Y=U^2{Y}^{\ast }$

第二步：回代，已知${\dot{U}}_G$和第一步的算出来的功率分布，来计算电压分布

因为已知的是始端电压，则从始端向末端计算。

带入线路的参数、$S_1^{\prime }$和${\dot{U}}_G$，通过下面的式子可以求出${\dot{U}}_1$
$${\dot{U}}_1={\dot{U}}_G-\mathrm{d}{\dot{U}}_G={\dot{U}}_G-\frac{P_1^{\prime }{R}_L+Q_1^{\prime }{X}_L}{U_G}-j\frac{P_1^{\prime }{X}_L-Q_1^{\prime }{R}_L}{U_G}=U_1\angle -{\theta }_2$$

带入线路的参数、$S_T^{\prime }$和${\dot{U}}_1$，通过下面的式子可以求出${\dot{U}}_2$
$${\dot{U}}_2={\dot{U}}_1-\mathrm{d}{\dot{U}}_1={\dot{U}}_1-\frac{P_T^{\prime }{R}_T+Q_T^{\prime }{X}_T}{U_1}-j\frac{P_T^{\prime }{X}_T-Q_T^{\prime }{R}_T}{U_1}=U_2\angle -{\theta }_1$$

如果是以${\dot{U}}_1$为参考向量，则${\dot{U}}_2=U_2\angle -{\theta }_1-{\theta }_2$

这样就完了一次迭代，原来所假设的各点电压初值经过这一次迭代后的值就发生了变化，如果载进行反复的迭代，就会使得误差越来越减小。

已知中间点的电压$U_1$和末端功率$S_2$

此时有两个点的电压需要假设，令${\dot{U}}_i=1\angle 0°(i=G,2)$，然后因为已知的是末端功率，所以就从末端向首端计算各部分的功率。

然后再从中间点开始，根据上一步得到的功率分布，向两边去计算电压值。

总结

1. 假设全网为额定电压，从末端向首端求出功率的分布。
   • 对于上图所示的例子，求取的流程图为：
     $$\widetilde{S_2}\stackrel{\Delta S_{ZT}}{\to }{S}_T^{\prime }\stackrel{\Delta S_{YT}}{\to }{S}_1\stackrel{\Delta S_{Y1}}{\to }{S}_1^{\prime \prime }\stackrel{\Delta S_{ZL}}{\to }{S}_1^{\prime }\stackrel{\Delta S_{Y1}}{\to }{S}_G$$
2. 由首端首端电压，和上步中求得的功率分布，计算出电压分布。
   $${\dot{U}}_G\Rightarrow {\dot{U}}_1\Rightarrow {\dot{U}}_2$$
   需要注意参考的相位选取。
3. 由上步中求出的电压分布，以及已知的末端功率，再次从末端向始端求出功率的分布，然后开始迭代。
4. 上述过程可以用下面的流程图表示出来：
   

电路数值计算方法

电路的运行参数：

• I,U：为实数，列出的是线性方程组，它可以求出解析解。
• $\tilde{S},\dot{U}$：为复数，列出的是非线性方程组，它只能迭代求出近似解。

示例：如下图的等值电路，已知的是始端电压${\dot{U}}_1$和末端功率${\tilde{S}}_2$。

先列出方程式：
$$\begin{gathered} S_1=S_2+\Delta S_{Y2}+\Delta S_Z+\Delta S_{Y1}=S_2+U_2^2{Y}_2^{\ast }+{\left|\frac{S_2+U_2^2{Y}_2^{\ast }}{{\dot{U}}_2}\right|}^{2}Z+U_1^2{Y}_1^{\ast } \\ {\dot{U}}_2={\dot{U}}_1-{\left(\frac{S_1-U_1^2{Y}_1^{\ast }}{{\dot{U}}_1}\right)}^{\ast }Z \end{gathered}$$

即列出两个方程：
$$\begin{gathered} S_1=f({\dot{U}}_1,S_2) \\ {\dot{U}}_2=g({\dot{U}}_1,S_2) \end{gathered}$$

求出其解析解太麻烦，所以使用迭代法求解。先给电压取初值：${\dot{U}}_2^{(0)}=1\angle 0°$，然后带入上述方程求出$S_1^{(0)}$，这样就可以迭代计算了：
$${\dot{U}}_2^{(1)}\to S_1^{(1)}\to {\dot{U}}_2^{(2)}\to S_1^{(2)}\to \dots$$

计算直到收敛。

收敛的原因

不动点：每一次迭代就是$x^{(k+1)}=f(x^{(k)})k=0,1,2\dots$，将这一次的值带入函数后得到下一次的值，为简单Jocobi迭代。

在坐标系中画出函数$y=f(x),y=x$，则可以看出迭代收敛的条件是：在两个函数交点附近有$|f^{\prime }(x)|<1$，而电网基本都是满足这个条件的。

简单闭式网络的潮流估计方法

输电系统中一部分网络的接线很复杂，例如有输电线路和变压器可能会连接成环形网络，而且整个网络是由多个发电厂共同供电，这样就形成了复杂的多段供电网络。

• 闭式网络的潮流估算基本步骤是先不考虑等值电路中的串联阻抗的功率损耗，求出网络的近似功率分布，从而找到“功率分点”。
• 然后再功率分点处将它拆成两个辐射形网络，再按照给定的供电点电压分别计算出他们的功率损耗和电压降，最终得到整个网络的潮流估算结果。

环形网络的潮流估算方法

如下图所示就是一个包含环形网络的一个网络。可见如果环形网络中有一个线路断开，则复合仍然可以由其他线路正常供电，其可靠性要更高，且运行灵活。

已知的量有${\tilde{S}}_2,{\tilde{S}}_4,{\tilde{S}}_5,{\tilde{S}}_7,{\tilde{S}}_9,{\dot{U}}_1$。

第一步

令电压的初值：${\dot{U}}_i=1\angle 0°i=2,3\dots 9$。然后使用电压值求出电网的功率分布。

由于这个网络由辐射网和环网共同组成，左半部分是环网，右半部分是辐射网。按照上面介绍过的方法，计算完辐射网的参数之后，再计算环网的参数。环网和辐射网交替迭代，辐射网向环网提供的是功率值，环网向辐射网提供的是电压值。

环网的计算

如图为环形网络的等值电路图。

和简单辐射网计算类似，上面已经假设过环网的电压初值，这样意味着，$\tilde{S}=\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }\Rightarrow \dot{I}=S^{\ast }$，也就是说电路和相应的复功率的共轭相等。

可以列出回路的电压平衡方程：
$${\dot{I}}_{12}{Z}_{12}+{\dot{I}}_{23}{Z}_{23}+{\dot{I}}_{34}{Z}_{34}+{\dot{I}}_{41}{Z}_{41}=0$$

把上式的电流替换成复功率的共轭，可得：
$$S_{12}^{\ast }{Z}_{12}+S_{23}^{\ast }{Z}_{23}+S_{34}^{\ast }{Z}_{34}+S_{41}^{\ast }{Z}_{41}=0\text{\hspace{1em}(1)}$$

然后列出各个母线的功率平衡方程：
$$\begin{gathered} S_2^{\ast }=S_{12}^{\ast }-S_{23}^{\ast } \\ {S}_3^{\ast }=S_{23}^{\ast }-S_{34}^{\ast } \\ {S}_4^{\ast }=S_{34}^{\ast }-S_{41}^{\ast } \end{gathered}$$

然后将上面的关系式代入式$(1)$，可得：
$$S_{12}^{\ast }{Z}_{12}+(S_{12}-S_2{)}^{\ast }{Z}_{23}+(S_{12}-S_2-S_3{)}^{\ast }{Z}_{34}+(S_{12}-S_2-S_3-S_4{)}^{\ast }{Z}_{41}=0$$

变换后可得：
$$(Z_{12}+Z_{23}+Z_{34}+Z_{41})S_{12}^{\ast }=S_2^{\ast }(Z_{23}+Z_{34}+Z_{41})+S_3^{\ast }(Z_{34}+Z_{41})+S_4^{\ast }{Z}_{41}\text{\hspace{1em}(2)}$$

这样就可以求出线路12的功率近似值：
$$S_{12}^{\ast }=\frac{S_2^{\ast }(Z_{23}+Z_{34}+Z_{41})+S_3^{\ast }(Z_{34}+Z_{41})+S_4^{\ast }{Z}_{41}}{Z_{12}+Z_{23}+Z_{34}+Z_{41}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

单从形式上来看，$(2)$式和杠杆中的力矩平衡公式很相似。实际上，如果把上图所示的环形网络从母线1处剪开，然后像拉杆那样拉直，认为复功率的共轭就是加在杠杆上的力，阻抗就是杠杆上的距离，那么如下图所示：

$S_{12}^{\ast }$就相当于杠杆以1’点为支点，然后再在1’'处施加的一个力，使得整个杠杆平衡。所以$(2)$式中的复功率的共轭和相应阻抗的乘积常常被称为“负荷矩”，以上的方法常常被称为“力矩法”。

同理可得线路14的功率近似值：
$$S_{14}^{\ast }=-S_{41}^{\ast }=\frac{S_2^{\ast }{Z}_{12}+S_3^{\ast }(Z_{12}+Z_{23})+S_4^{\ast }(Z_{12}+Z_{23}+Z_{34})}{Z_{12}+Z_{23}+Z_{34}+Z_{41}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

$S_{14}^{\ast }$相当于杠杆以1’'点为支点，然后再在1’处施加的一个力，使得整个杠杆平衡。

联合$(3)$式和$(4)$式，可以得出：
$$S_{14}^{\ast }+S_{12}^{\ast }=S_2^{\ast }+S_3^{\ast }+S_4^{\ast }$$

这反映了不计线路串联阻抗中功率损耗情况下的功率平衡关系。计算出了$S_{12}^{\ast }$，就可以利用各个母线的功率平衡方程，来计算出$S_{23}^{\ast },S_{34}^{\ast },S_{41}^{\ast }$，这就是近似的功率分布。但是，这个功率还没有计算入四个阻抗中的功率损耗。为了求得这些功率损耗，可以依据近似功率分布找出一个母线，这个母线的负荷由连接于该母线的相邻两条线路分担，该母线叫做“功率分点”。

以上图为例，如果母线3的负荷$S_3^{\ast }$实际上是由线路23和线路34共同供给，也就是线路23上的实际功率流向是从2到3，线路34上的实际功率流向是从4到3，则母线3为功率分点。然后按照实际的线路功率，将功率分点处的负荷拆成两个部分，并将网络也相应的进行分割。例如，将$S_3^{\ast }$进行分解，$S_3^{\ast }=S_{23}^{\ast }+(-S_{34}^{\ast })$，如下图所示。

所以原来的环形网络就变成了两个辐射形网络，其中负荷均为已知，这样就可以使用辐射网络的计算方法分别求出拆解出的两个网络的考虑功率损耗之后的功率分布和电压分布。

如果环形网络中各个线路的电阻和电抗的比值相同，则称这种网络为均一网络。更特别的情况，如果各个线路使用相同的导线和结构，则他们的阻抗和他的长度成正比，这种情况下，$(3)$式和$(4)$式可以化为：
$$\begin{gathered} S_{12}^{\ast }=\frac{S_2^{\ast }(l_{23}+l_{34}+l_{41})+S_3^{\ast }(l_{34}+l_{41})+S_4^{\ast }{l}_{41}}{l_{12}+l_{23}+l_{34}+l_{41}} \\ {S}_{14}^{\ast }=-S_{41}^{\ast }=\frac{S_2^{\ast }{l}_{12}+S_3^{\ast }(l_{12}+l_{23})+S_4^{\ast }(l_{12}+l_{23}+l_{34})}{l_{12}+l_{23}+l_{34}+l_{41}} \end{gathered}$$

也就是将各个阻抗Z替换成了其对应的长度l。

总结：

1. 计算环形网络中各母线的运算负荷，包含了所连线路的$\Pi$形等值电路中接地导纳吸收的功率以及下属辐射形网络的总负荷和损耗。
2. 按照$(3)$式和$(4)$式计算出环形网络的近似功率分布，并求出功率分点。
3. 在无功功率分点处将负荷按照近似功率分布结果分为两部分，并将环形网络分成两个辐射形网络，然后分别采用辐射形网络的潮流估算方法计算有阻抗损耗时的功率分布，再计算电压分布。
   • 方法是令$U_i=1\angle 0°$，以求出功率分布，然后再利用上一步求出来的功率和电压${\dot{U}}_{1^{\prime }},{\dot{U}}_{1^{\prime \prime }}$，求出各点的电压分布，这样就完成了一次迭代，如果两边计算出来的${\dot{U}}_3$不一致，那么就取出平均值作为下一次使用的${\dot{U}}_3$。
   • 注意：在拆分出的两个辐射网络中还应该加上与电源相连线路等值电路中电源侧接地导纳所吸收的功率。

第二步

在第一步中，已经求出了右边辐射形网络的功率分布，和左边环形网络的功率分布和电压分布$U_2^{(1)},U_3^{(1)},U_4^{(1)}$，这样就根据第一步求出的功率分布，来求出右边的辐射形网络的电压分布$U_i^{(1)}i=5,6\dots 9$。

这样就完成了一次迭代，再返回第一步，而且使用第一次迭代求出的电压$U_i^{(1)}i=1,2\dots 9$，进入下一次迭代。

两端供电网络的潮流估算方法

如下图所示，为一个简单的两端供电网络。

其中A和B为两个供电点，A1、12、2B均为输电线路，母线1和2接有负荷。已知条件是${\dot{U}}_A,{\dot{U}}_B,{\tilde{S}}_1,{\tilde{S}}_2$.

方法一

其等值电路如下所示。

其中，${\dot{U}}_A,{\dot{U}}_B$分别是两端供电点的电压，${\tilde{S}}_A,{\tilde{S}}_B$分别是他们提供的功率，${\tilde{S}}_1,{\tilde{S}}_2$ 分别是母线1和2的运算负荷，$Z_{A1},Z_{12},Z_{2B}$分别是线路的串联阻抗。

两个发电机是共地的，所以可以把两个发电机合并成一个，则其中$\Delta \dot{U}={\dot{U}}_A-{\dot{U}}_B$，如下图所示。

然后利用叠加定理，先认为发电机无效，母线1和2有效，则如下图1所示。

然后认为发电机有效，但母线1和2无效，则如下图2所示。

图一所示的电路，实际上就是一个环形网络，利用上面讲解的环形网络方法，即可算出功率值大小。先画出其负荷矩示意图。

然后列出功率表达式：
$${\tilde{S}}_{A1S}=\frac{(Z_{12}+Z_{2B}){\tilde{S}}_1+Z_{2B}{\tilde{S}}_2}{Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B}}$$

图二所示的电路，实际上就是一个简单的串联电路，之间应用电路原理即可计算：
$${\tilde{S}}_{A1V}=\frac{\Delta U^2}{Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B}}$$

然后将两个相叠加，就得到最终的结果：
$$\begin{gathered} {\tilde{S}}_{A1}={\tilde{S}}_{A1S}+{\tilde{S}}_{A1V} \\ {\tilde{S}}_{12}={\tilde{S}}_{A1}-{\tilde{S}}_1 \\ {\tilde{S}}_{2B}={\tilde{S}}_{A1}-{\tilde{S}}_1-{\tilde{S}}_2 \end{gathered}$$

方法二

如下为等值电路以及规定正方向，仍然假设各个母线电压都等于额定电压，则有$\dot{I}=S^{\ast }$。

由两端的电压差等于各个元件的电压降落可得：
$${\dot{U}}_A-{\dot{U}}_B={\dot{I}}_A{Z}_{A1}+{\dot{I}}_{12}{Z}_{12}-{\dot{I}}_B{Z}_{2B}$$

写出两个节点的电流关系式：
$$\begin{gathered} {\dot{I}}_A={\dot{I}}_1+{\dot{I}}_{12} \\ {\dot{I}}_{12}+{\dot{I}}_B={\dot{I}}_2 \end{gathered}$$

然后带入的得到电压的关系：
$${\dot{U}}_A-{\dot{U}}_B={\dot{I}}_A(Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B})-{\dot{I}}_1(Z_{12}+Z_{2B})-{\dot{I}}_2{Z}_{2B}$$

然后用复功率代替电流可得：
$${\dot{U}}_A-{\dot{U}}_B=S_A^{\ast }(Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B})-S_1^{\ast }(Z_{12}+Z_{2B})-S_2^{\ast }{Z}_{2B}$$

从上式就可以解出$S_A^{\ast }$的表达式：
$$S_A^{\ast }=\frac{S_1^{\ast }(Z_{12}+Z_{2B})+S_2^{\ast }{Z}_{2B}}{Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B}}+\frac{{\dot{U}}_A-{\dot{U}}_B}{Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B}}$$

同样的推导方法，可得$S_B^{\ast }$的表达式：
$$S_B^{\ast }=\frac{S_2^{\ast }(Z_{A1}+Z_{12})+S_1^{\ast }{Z}_{A1}}{Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B}}+\frac{{\dot{U}}_B-{\dot{U}}_A}{Z_{A1}+Z_{12}+Z_{2B}}$$

计算得到了$S_A,S_B$，然后就可以按照环形网络的计算方法，计算出结果。