【动态规划状态机dp】3082. 求出所有子序列的能量和

算法可以发掘本质，如：
一，若干师傅和徒弟互有好感，有好感的师徒可以结对学习。师傅和徒弟都只能参加一个对子。如何让对子最多。
二，有无限多1X2和2X1的骨牌，某个棋盘若干格子坏了，如何在没有坏的格子放足够多骨牌。
三，某个单色图，1表示前前景，0表示后景色。每次操作可以将一个1，变成0。如何在最少得操作情况下，使得没有两个1相邻（四连通）。
四，若干路人，有些人是熟人，如何选出最多的人参加实验。为了避免熟人影响实验的效果，参加的人不能是熟人。
一二是二分图的最大匹配，三是二分图的最小点覆盖，四是二分图最大独立集。而这三者是等效问题。

本文涉及知识点

动态规划状态机dp

LeetCode3082. 求出所有子序列的能量和

给你一个长度为 n 的整数数组 nums 和一个正整数 k 。
一个整数数组的能量定义为和等于 k 的子序列的数目。
请你返回 nums 中所有子序列的能量和。
由于答案可能很大，请你将它对 109 + 7 取余后返回。
示例 1：
输入： nums = [1,2,3], k = 3
输出： 6
解释：
总共有 5 个能量不为 0 的子序列：
子序列 [1,2,3] 有 2 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 和 [1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
子序列 [1,2,3] 有 1 个和为 3 的子序列：[1,2,3] 。
所以答案为 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 。
示例 2：
输入： nums = [2,3,3], k = 5
输出： 4
解释：
总共有 3 个能量不为 0 的子序列：
子序列 [2,3,3] 有 2 个子序列和为 5 ：[2,3,3] 和 [2,3,3] 。
子序列 [2,3,3] 有 1 个子序列和为 5 ：[2,3,3] 。
子序列 [2,3,3] 有 1 个子序列和为 5 ：[2,3,3] 。
所以答案为 2 + 1 + 1 = 4 。
示例 3：
输入： nums = [1,2,3], k = 7
输出： 0
解释：不存在和为 7 的子序列，所以 nums 的能量和为 0 。
提示：
1 <= n <= 100
1 <= nums[i] <= 10⁴
1 <= k <= 100

动态规划

一个长度为len的子序列s是多少子序列的子序列？其它字符都可以选或不选，令其它字符有len2个，则包括s的子序列共有2^len2个。

动态规划的表示

pre[len][sum]表示前i个数字构成的子序列（包括空子序列）中，长度为len，和为sum的数量。
dp[len][sum]表示前i+1个数字构成的子序列（包括空子序列）中，长度为len，和为sum的数量。

动态规划的转移方程

当前数字不选取。dp = pre
选取当前数字：dp[len+1][sum+n] += pre[len][sum] ，注意下标的合法性。

动态规划的填表顺序

通过前置状态更新后置状态。依次枚举nums。

动态规划的初始值

dp[0][0]=1

动态规划的返回值

n = nums.size()
$\sum_{x:1}^{n}pre[x].back()*2 ^{n-x}$

代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int sumOfPower(vector<int>& nums, int k) {
		vector<vector<C1097Int<>>> pre(nums.size()+1,vector<C1097Int<>>( k + 1));
		pre[0][0] = 1;
		for (const auto& n : nums) {
			auto dp = pre;
			for (int len = 0; len+1 <= nums.size(); len++) {
				for (int iPre = 0; iPre <= k; iPre++) {
					const int iNew = iPre + n;
					if (iNew > k) { continue; }
					dp[len+1][iNew] += pre[len][iPre];
				}
			}			
			pre.swap(dp);
		}
		C1097Int<> biRet;
		for (int i = 1; i <= nums.size(); i++) {
			biRet += pre[i].back() * C1097Int(2).pow(nums.size()-i);
		}
		return biRet.ToInt();
	}
};

扩展阅读

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