题目

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

• 输入：n = 4
• 输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
• 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

• 输入：n = 1
• 输出：[["Q"]]

思路 

都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二维矩阵还会有点不知所措。

首先来看一下皇后们的约束条件：

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。下面我用一个 3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

回溯三部曲

1、递归函数参数

我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。

参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。

代码如下：

vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {

2、递归终止条件

在如下树形结构中： 

可以看出，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。

代码如下：

if (row == n) {
    result.push_back(chessboard);
    return;
}

3、单层搜索的逻辑

递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

for (int col = 0; col < n; col++) {
    if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
        chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
        backtracking(n, row + 1, chessboard);
        chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
    }
}

验证棋盘是否合法

按照如下标准去重：

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线 （45度和135度角）

代码如下：

bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。

那么按照这个模板不难写出如下C++代码：

class Solution {
private:
vector<vector<string>> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
    if (row == n) {
        result.push_back(chessboard);
        return;
    }
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
            chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
            backtracking(n, row + 1, chessboard);
            chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
        }
    }
}
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        result.clear();
        std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: O(n!)
• 空间复杂度: O(n)

下面给出笔者自己的c++代码与大家分享，思路大体和上面的差不多，但是也不尽相同，其中我用一个q_count代表当前已经放置的皇后数目，同时也代表了当前回溯树的深度，另外最主要的差别就是我用一个pos数组代表了棋盘每一行上皇后所在位置，最后输出结果时就需要用gouzao函数将这些位置信息转换成vector<string>虽然多了一个步骤，但是这对于判断当前位置放置皇后是否合法会有很大程度上的精简，代码如下：

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> result;
    vector<string> path;
    int q_count=0;
    int pos[10] = {-1};
    bool is_ok(int x,int y)
    {
        for (int i = 0 ; i < x ; i++){
            if(y == pos[i] || abs(x-i) == abs(y - pos[i]))
            return false;
        }
        return true;
    }
    void gouzao(int n)
    {
        path.clear();
        string tmp;
        for(int i = 0 ; i< n ; i++)
        {
            for(int j = 0 ; j < n ; j++)
            {
                if(j == pos[i]) tmp+='Q';
                else tmp+='.';
            }
            if(!tmp.empty()) path.push_back(tmp);
            tmp.clear();
        }
        result.push_back(path);
    }
    void backtracing(int n)
    {
        if(q_count == n)
        {
            gouzao(n); 
            return;
        }

        for(int i = 0 ; i < n ; i++)
        {
            if(!is_ok(q_count,i)) continue;
            pos[q_count++] = i;
            backtracing(n);
            q_count--;
            pos[q_count] = -1;
        }
    }
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        backtracing(n);
        return result;
    }
};

可以看到我这里判断合法的语句只有一句if(y == pos[i] || abs(x-i) == abs(y - pos[i]))，其中x和y代表当前位置的坐标，pos数组代表每一行中皇后的位置索引，具体判断方法就是遍历之前已经放置过的每一行，如果遇到y == pos[i]，既在第i行的y列已经有皇后了，那么不合法，或者abs(x-i) == abs(y - pos[i])，既当前位置的斜向也已经有皇后则也不合法，后一个条件需要大家理解一下，两个坐标在同一个斜线代表两坐标连线与水平的夹角为45度，通过斜率公式便可以写出上面的条件，不理解的可以在纸上画一画加深理解。