第2章：车辆纵向控制

2.1 车辆纵向动力学模型

注：车辆的纵向控制是指控制车辆行驶方向上的加减速，使得汽车可以按照期望的速度行驶，并保持安全的前后车距（即对汽车油门 / 刹车的控制）；

2.1.1 车辆纵向受力模型

$F_{xf} / F_{xr}$ ：轮胎纵向力（前后轮的驱动力，由车辆的引擎产生的将车向前推动的力）
$R_{xf} / R_{xr}$ ：滚动阻力（车辆在道路上行驶时轮胎 / 路面形变从而产生一个接触面，在这个接触面上轮胎与地面之间的摩擦力就是滚动阻力）
$F_{aero}$ ：空气阻力

2.1.2 空气阻力计算公式

$\rho$ ：空气密度（和大气压力 + 空气温度有关，知道这两项就可以通过查询汽车密度表获取当前的空气密度）
$C_{d}$ ：汽车风阻系数（通过风洞测试得到，一般轿车的风阻洗漱在0.28左右，SUV会更高在0.32左右）
$A_{F}$ ：车辆在运动方向上的投影面积（一般取车辆【宽x高】的79%~84%）
$v_{x}$ ：实时车速（风阻是和速度的平方成正比，所以高速行车风阻会很大）
$v_{wind}$ ：风速（一般情况下风速和车速相比都很小，所以经常忽略其为0）

2.1.3 轮胎纵向力计算公式

$C_{\sigma f} / C_{\sigma r}$ ：前后轮纵向刚度

假设路面摩擦力为一个轮胎的法向载荷常数，则轮胎纵向力 $F_{xf} / F_{xr}$ 为滑动率 $\sigma _{xf} / \sigma _{xr}$ 的一个函数（如上图）；
在低滑动率的时候（-0.1~0.1），轮胎纵向力和轮胎滑动率成正比，而正比这部分的斜率我们通常成为纵向刚度；

$\sigma _{xf} / \sigma _{xr}$ ：前后轮滑动率

$\frac{r_{eff} * \omega _{w} - V_{x}}{V_{x}}$ ：滑移率（在刹车的时候发生）
$\frac{r_{eff} * \omega _{w} - V_{x}}{r_{eff} * \omega _{w}}$ ：滑转率（在加速的时候发生）
在加速 / 刹车的时候才有滑移率 / 滑转率，这个时候轮胎和地面之间是动摩擦；
在匀速行驶的时候，车辆轮胎和地面之间是静摩擦，之间没有相对位移；

滑动率的计算公式推导：

$r_{eff}$ ：滚动半径（本身轮胎半径为R，但是轮胎在和路面接触时存在形变，所以真实的滚动半径记为 $r_{eff}$ ）
$\omega _{w}$ ：滚动角速度
$r_{eff} * \omega _{w}$ ：轮胎实际纵向速度
$V_{x}$ ：车辆实际纵向速度

$F_{xf} = C_{\sigma f} * \sigma _{xf}$

$F_{xr} = C_{\sigma r} * \sigma _{xr}$

在干燥的路面上行驶时，我们的滑动率都是很小的，所以我们使用一个简化的线性轮胎模型来表示；
但是如果路面比较湿滑，换言之就是滑动率比较大的时候，就不能再使用这样的线性轮胎模型了，需要使用非线性轮胎模型来计算（常见的非线性模型有 Magic Formula）；

2.1.4 滚动阻力计算公式

$R_{xf} / R_{xr}$ ：滚动阻力（本质上是摩擦产生的阻力）

$F_{zf} / F_{zr}$ ：轮胎法向载荷（也是导致轮胎形变的力，这个力在轮胎形变产生的接触面上分配是不均匀的，如上图的曲线）

$f$ ：滚动阻力系数（取值范围为0.01~0.04，常用车的轮胎滚动阻力系数为0.015）

计算法向载荷 $F_{zf} / F_{zr}$ ：

针对车辆建立纵向力矩平衡方程

a

a

注意：在以车为坐标系来分析车辆的力矩平衡时，车是不发生旋转的，力矩是平衡的

将所有力的作用点都平移到坐标系上，力的作用点到坐标原点的距离就是力臂；
没有在力矩平衡等式中出现的力，肯定是本身力的方向就和坐标轴重合，因此没有力臂，也就没有力矩；如轮胎滚动阻力 $R_{xf} / R_{xr}$ 都是作用在轮胎和地面的接触面上的，因此力臂为0，即力矩为0；
$h$ 为车辆重心的高度；

a

a

后轮接地处为坐标系参考点，建立力矩平衡等式
力矩平衡等式

a

a

前轮接地处为坐标系参考点，建立力矩平衡等式
力矩平衡等式

滚动阻力计算公式：

2.1.5 总结

纵向控制的输入：油门 / 刹车
纵向控制的输出：纵向速度 / 纵向加速度 / 跟车距离

2.2 经典控制理论

2.2.1 拉普拉斯变换

目的：将时域中的【线性常系数微分方程】变成频域中的【代数方程】，便于求解

线性：微分项都是一次的，不是高次的
常系数：微分项的系数中不含有变量 $t$

拉普拉斯变换的定义：

拉普拉斯变换对照表：

2.2.2 传递函数

注意：在计算传递函数的时候，默认的是整个自动控制系统的初始状态均为0，即整个自动化系统在未给定输入值的时候，整个系统是静止的，并未运作的；这样的好处是在求线性微分方程的拉普拉斯变换时，下面公式中的初始条件 $f^{n-k}(0)$ 都可以置为0；

二阶系统标准式：

$\xi$ ：阻尼比 / 阻尼系数
$\omega _{n}$ ：无阻尼自然振荡频率

欠阻尼 / 临界阻尼 / 过阻尼系统的阶跃响应：

欠阻尼系统是有超调的，但是到达稳态值的速度很快；（有的系统他是不允许有超调的，例如自适应巡航系统ACC，他只能=采取临界阻尼 / 过阻尼的方式调节）
过阻尼系统是没有超调的，完全没有震荡，但是到达目标稳态值的速度很慢；

2.2.3 PID控制器

PID控制器介绍：

P（Proportional）：比例
I（Integral）：积分
D（Derivative）：微分

PID控制器的作用：

P：
- 随着 p 的增大，稳态误差逐渐减小，但一定会存在稳态误差，只使用比例环节无法根除
- 随着 p 的增大，系统超调会逐渐增大，但是过大的比例值会导致系统变得不稳定
- 随着 p 的增大，系统达到稳定状态的时间变短，调节速度加快
I：滞后调节
- i 的加入，可以消除稳态误差
- i 的加入，会给系统带来一定的滞后性，因为需要误差不断地累积，累积的多了才会有明显的调节作用；这就使得系统到达稳态的速度变慢
- i 的加入，可能会导致积分饱和现象，即积分环节得到的针对控制器的动作，大于控制器实际的动作空间（如命令阀门开度为120%，但其实阀门最大只能开到100%）
D：超前调节
- d 的加入，可以使得系统的超调减小，抑制系统的震荡，帮助稳定系统
- d 的加入，可以使得系统具有预见性，针对偏差变化的趋势提前做出调节，产生超前的调节作用，可以改善系统的动态性能，使得系统到达稳态的时间变短
- d 的加入，会使系统对噪声干扰非常敏感，因此过强的微分调节会对系统的抗干扰不利

理想低通滤波器：

理想低通滤波器的作用是：将高于设定频率 $f_{C}$ 的波形成分将从原信号中滤除。这个设定的频率 $f_{C}$ 被称为截止频率，其对应的截止角频率记为 $\omega _{c} = 2\pi f_{C}$ ，该系统幅频特性 $\left | H(j\omega )) \right |$ 和相频特性 $\theta (w)$ 应如下图所示：