导入所需的库

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2)
import matplotlib.pyplot as plt
dlblue = '#0096ff'; dlorange = '#FF9300'; dldarkred='#C00000'; dlmagenta='#FF40FF'; dlpurple='#7030A0'; 
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')
from lab_utils_multi import  load_house_data, compute_cost, run_gradient_descent 
from lab_utils_multi import  norm_plot, plt_contour_multi, plt_equal_scale, plot_cost_i_w

1、数据集

Size (sqft)	Number of Bedrooms	Number of floors	Age of Home	Price (1000s dollars)
952	2	1	65	271.5
1244	3	2	64	232
1947	3	2	17	509.8
…	…	…	…	…

利用以上表格中的数据构建一个线性模型，这样我们可以预测房屋的价格（1200 sqft, 3 bedrooms, 1 floor, 40 years old）

# load the dataset
X_train, y_train = load_house_data()
X_features = ['size(sqft)','bedrooms','floors','age']

绘制每个房子特征与房屋价格之间的关系图

fig,ax=plt.subplots(1, 4, figsize=(12, 3), sharey=True)
for i in range(len(ax)):
    ax[i].scatter(X_train[:,i],y_train)
    ax[i].set_xlabel(X_features[i])
ax[0].set_ylabel("Price (1000's)")
plt.show()

对每个特征与目标变量（价格）进行绘图可以提供一些关于哪些特征对价格有最强影响的线索。如上所述，增加房屋面积也会增加价格。而卧室数和楼层数似乎对价格影响不大。新房比旧房价格更高。

2、学习率

设置不同的学习率进行梯度下降，观察一下的结果

2.1 $\alpha$ = 9.9e-7

#set alpha to 9.9e-7
_, _, hist = run_gradient_descent(X_train, y_train, 10, alpha = 9.9e-7)

运行过程：

看起来学习率太高了。解决方案没有收敛。损失在增加而不是减少，绘制结果可视化：

plot_cost_i_w(X_train, y_train, hist)

右侧的图显示了参数 $w_0$ 的值。在每次迭代中，它超过了最优值，结果导致成本增加而不是接近最小值。需要注意的是，这不是一个完全准确的图，因为每次迭代时有4个参数被修改，而不仅仅是一个。该图仅显示了 $w_0$ 的值，其他参数被设定为一些良好的值。在这个图和后面的图中，可能会注意到蓝线和橙线略有偏差。

2.2 $\alpha$ = 9e-7

#set alpha to 9e-7
_,_,hist = run_gradient_descent(X_train, y_train, 10, alpha = 9e-7)

损失在整个运行过程中都在减少，这表明学习率 $\alpha$ 不是太大。

plot_cost_i_w(X_train, y_train, hist)

在左图中，可以看到损失在逐渐减少，这是预期的结果。在右图中，可以看到 $w_0$ 仍然在最小值周围振荡，但每次迭代它都在减小，而不是增加。dj_dw[0] 在每次迭代中改变符号，因为 w[0] 跳过了最优值。

2.3 $\alpha$ = 1e-7

#set alpha to 1e-7
_,_,hist = run_gradient_descent(X_train, y_train, 10, alpha = 1e-7)

plot_cost_i_w(X_train,y_train,hist)

在左图中，可以看到损失在逐渐减少，这是预期的结果。在右图中，可以看到 $w_0$ 在没有越过最小值的情况下逐渐减小。dj_w0 在整个运行过程中都是负数。尽管可能不如前面的例子那么快，但是这个解也会收敛。

3、特征缩放

3.1 特征缩放的原因

让我们再看看 $\alpha$ = 9e-7的情况。这非常接近可以设置 $\alpha$到不发散的最大值。这是前几次迭代的简短运行：

如上所示，虽然损失正在降低，但很明显由于$w_0$的梯度更大，因此比其他参数取得更快的进展。

下图显示了 $\alpha$ = 9e-7非常长时间的运行结果。这花费几个小时。

从上图中可以看到，损失在最初降低后缓慢下降。注意w0 和 w0,w1,w2 以及 dj_dw0 和dj_dw1-3 之间的区别。w0 很快达到了接近最终值的状态， dj_dw0 快速减小到一个很小的值来显示w0接近最终值，而其他参数更缓慢地减小。

为什么会是这样? 有什么办法可以改进它?

上图说明了$w$更新不均匀的原因。

• $\alpha$ 由所有的参数更新共享.
• 公共误差项被乘以特征值来更新 $w$，而不是偏置项 $b$.
• 特征值的大小变化幅度差异很大，导致一些特征的更新速度比其他特征快得多。在这个例子中，$w_0$ 乘以 ‘size(sqft)’，该特征通常大于 1000，而 $w_1$ 乘以 ‘number of bedrooms’，该特征通常在 2-4 范围内。

所以，解决方案就是特征缩放。

在课程中介绍了三种不同的技术：

• 特征缩放，本质上是将每个特征除以用户选择的值，使得特征值的范围在 -1 到 1 之间。
• 均值归一化: $x_i:=\frac{x_i-{\mu }_i}{max-min}$
• Z-score 归一化.

3.2 Z-score 归一化

Z-score 归一化后，所有特征的均值为 0，标准差为 1.

为实现 Z-score 归一化, 根据以下公式调整输入值:
$$x_j^{(i)}=\frac{x_j^{(i)}-{\mu }_j}{{\sigma }_j}\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中， $j$ 选择一个特征或矩阵 X 中的一列。${\mu }_j$ 是特征（j）所有值的平均值，${\sigma }_j$ 是特征（j）的标准差。
$$\begin{array}{rl}{\mu }_j& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}{x}_j^{(i)}\\ {\sigma }_j^2& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}(x_j^{(i)}-{\mu }_j{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(5)(6)}$$

这里需要注意：对特征进行归一化时，存储用于归一化的值（用于计算的平均值和标准差）非常重要。从模型中学习参数后，我们经常想要预测我们以前没有见过的房屋的价格。给定一个新的 x 值（客厅面积和卧室数量），我们必须首先使用我们之前根据训练集计算的平均值和标准差对 x 进行标准化。

以下是实现过程：

def zscore_normalize_features(X):
    """
    computes  X, zcore normalized by column
    
    Args:
      X (ndarray): Shape (m,n) input data, m examples, n features
      
    Returns:
      X_norm (ndarray): Shape (m,n)  input normalized by column
      mu (ndarray):     Shape (n,)   mean of each feature
      sigma (ndarray):  Shape (n,)   standard deviation of each feature
    """
    # find the mean of each column/feature
    mu     = np.mean(X, axis=0)                 # mu will have shape (n,)
    # find the standard deviation of each column/feature
    sigma  = np.std(X, axis=0)                  # sigma will have shape (n,)
    # element-wise, subtract mu for that column from each example, divide by std for that column
    X_norm = (X - mu) / sigma      

    return (X_norm, mu, sigma)
 
#check our work
#from sklearn.preprocessing import scale
#scale(X_orig, axis=0, with_mean=True, with_std=True, copy=True)

可以看一下 Z-score 归一化逐步的转变过程：

mu     = np.mean(X_train,axis=0)   
sigma  = np.std(X_train,axis=0) 
X_mean = (X_train - mu)
X_norm = (X_train - mu)/sigma      

fig,ax=plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 3))
ax[0].scatter(X_train[:,0], X_train[:,3])
ax[0].set_xlabel(X_features[0]); ax[0].set_ylabel(X_features[3]);
ax[0].set_title("unnormalized")
ax[0].axis('equal')

ax[1].scatter(X_mean[:,0], X_mean[:,3])
ax[1].set_xlabel(X_features[0]); ax[0].set_ylabel(X_features[3]);
ax[1].set_title(r"X - $\mu$")
ax[1].axis('equal')

ax[2].scatter(X_norm[:,0], X_norm[:,3])
ax[2].set_xlabel(X_features[0]); ax[0].set_ylabel(X_features[3]);
ax[2].set_title(r"Z-score normalized")
ax[2].axis('equal')
plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95])
fig.suptitle("distribution of features before, during, after normalization")
plt.show()

上图显示了两个训练集参数“年龄”和“平方英尺”之间的关系。这些都是以相同比例绘制的。

左：未标准化：“尺寸（平方英尺）”特征的值范围或方差远大于年龄的范围。
中：第一步查找从每个特征中减去平均值。这留下了以零为中心的特征。很难看出“年龄”特征的差异，但“尺寸（平方英尺）”显然在零左右。
右：第二步除以方差。这使得两个特征都以零为中心，具有相似的尺度。

接下来，对数据进行标准化并将其与原始数据进行比较。

# normalize the original features
X_norm, X_mu, X_sigma = zscore_normalize_features(X_train)
print(f"X_mu = {X_mu}, \nX_sigma = {X_sigma}")
print(f"Peak to Peak range by column in Raw        X:{np.ptp(X_train,axis=0)}")   
print(f"Peak to Peak range by column in Normalized X:{np.ptp(X_norm,axis=0)}")

通过归一化，每列的峰值范围从数千倍减少到 2-3 倍。

fig,ax=plt.subplots(1, 4, figsize=(12, 3))
for i in range(len(ax)):
    norm_plot(ax[i],X_train[:,i],)
    ax[i].set_xlabel(X_features[i])
ax[0].set_ylabel("count");
fig.suptitle("distribution of features before normalization") 
plt.show()
fig,ax=plt.subplots(1,4,figsize=(12,3))
for i in range(len(ax)):
    norm_plot(ax[i],X_norm[:,i],)
    ax[i].set_xlabel(X_features[i])
ax[0].set_ylabel("count"); 
fig.suptitle(f"distribution of features after normalization")

plt.show()

接下来，使用归一化的数据重新运行梯度下降算法。

w_norm, b_norm, hist = run_gradient_descent(X_norm, y_train, 1000, 1.0e-1, )

缩放后的特征可以更快地获得非常准确的结果！请注意，在这个相当短的运行结束时，每个参数的梯度都很小。0.1 的学习率是使用归一化特征进行回归的良好开端。接下来绘制预测值与目标值的关系图。请注意，预测是使用归一化特征进行的，而绘图是使用原始特征值显示的。

#predict target using normalized features
m = X_norm.shape[0]
yp = np.zeros(m)
for i in range(m):
    yp[i] = np.dot(X_norm[i], w_norm) + b_norm

    # plot predictions and targets versus original features    
fig,ax=plt.subplots(1,4,figsize=(12, 3),sharey=True)
for i in range(len(ax)):
    ax[i].scatter(X_train[:,i],y_train, label = 'target')
    ax[i].set_xlabel(X_features[i])
    ax[i].scatter(X_train[:,i],yp,color=dlorange, label = 'predict')
ax[0].set_ylabel("Price"); ax[0].legend();
fig.suptitle("target versus prediction using z-score normalized model")
plt.show()

3.3 预测

生成模型的目的是用它来预测数据集中没有的房价。我们来预测一套 1200 平方英尺、3 间卧室、1 层、40 年楼龄的房子的价格。必须使用训练数据标准化时得出的平均值和标准差来标准化数据。

# First, normalize out example.
x_house = np.array([1200, 3, 1, 40])
x_house_norm = (x_house - X_mu) / X_sigma
print(x_house_norm)
x_house_predict = np.dot(x_house_norm, w_norm) + b_norm
print(f" predicted price of a house with 1200 sqft, 3 bedrooms, 1 floor, 40 years old = ${x_house_predict*1000:0.0f}")

3.4 损失等值线

查看特征缩放的另一种方法是根据损失等值线。当特征尺度不匹配时，等值线图中损失与参数的关系图是不对称的。在下图中，参数的比例是匹配的。左图是 w[0]（平方英尺）与 w[1]（标准化特征之前的卧室数量）的损失等值线图。该图非常不对称，以至于看不到完整轮廓的曲线。相反，当特征标准化时，损失轮廓更加对称。结果是，在梯度下降期间更新参数可以使每个参数取得相同的进展。

plt_equal_scale(X_train, X_norm, y_train)