文章目录
- 大纲
- 2.1 数制与编码
- 2.2 运算方法和运算电路
- 2.3 浮点数的表示和运算
- 【※】带标志加法器
- OF
- SF
- ZF
- CF
- 计算机怎么区分有符号数无符号数?
- 【※】存储排列和数据类型转换
- 数据类型大小
- 数据类型转换
- 进位计数制
- 进制转换
- 2的次幂
- 各种码的基本特性
- 无符号整数的表示和运算
- 带符号整数的表示和运算
- 码之间的转换
- 移位运算
- 算数移位【针对有符号数】
- 逻辑移位【针对无符号数】
- 循环移位
- 乘除运算
- 无符号整数
- 有符号数
- 【※】IEEE754
- IEEE754浮点数与真值相互转化
- 由浮点数确定真值(阶码不是全0、也不是全1) :
- 浮点数的加减运算
- C强制类型转换
- 浮点数的规格化
大纲
2.1 数制与编码
- 王道书和大学教材讲到原码、补码时，使用了数学化的语言来讲解，不用过于深究，不是重点。计组这门课在考试中只考察应用，不考数学原理。对补码的数学原理感兴趣的同学，可以研究《数论》。
- 这个小节学起来难，但做起题来不算难。不建议反复死磕视频和王道书，可以先学一遍，然后直接做题，用“做题驱动复习”。
2.2 运算方法和运算电路
- 本节内容较多，一天的时间可能学不完。建议大家按照“伴学营打卡表”推荐的顺序做题，学一部分，做几道题。不建议一口气全部看完再去做题，那样一定消化不了。
- 对于没学过《数字电路》的同学，串行加法器、并行加法器的底层原理一定很难理解。不过没关系，考试不可能考太底层的电路设计。
- 带标志位的加法器是考试重点，也是经常结合第四章考察的重点，需要认真理解。OF、SF、ZF、CF 标志位的生成和作用一定要掌握。
- 乘法、除法的原理细节不容易理解，但考察频率较低，第一次学如果觉得难，也不建议花太多时间。只需要先建立起这个认知：在计算机硬件层面，无论是乘法还是除法，都是通过 加法、减法、移位运算 来实现的。
- C语言中各种数据类型的存储和相互转换、数据的存储和排列，这两部分内容很重要，经常结合大题考察，需认真理解。
2.3 浮点数的表示和运算
- 本节又是一块硬骨头，没什么好说的，学吧。第一次学难免让人怀疑人生，保持平常心尽力去学尽力去做题就好。第一次学习不建议死磕细节，得配合做题来体会这个部分怎么考，用“做题驱动复习”。
- 但很多同学的反馈是：“第一次学感觉很复杂，但第二轮回来复习感觉也没那么难”。原因是，本节内容虽难，但在经过做题训练之后，大家都会更清晰的认识到 “哪些地方是考试重点”、““哪些地方应该是我重点关注的”。
【※】带标志加法器
OF
- 有符号数的加减运算是否发生了溢出。
- OF=1时，说明发生了溢出
- OF=最高位产生的进位 ⊕ 次高位产生的进位
- OF位对无符号数的加减法无意义
SF
- 有符号数加减运算结果的正负性。
- SF=0表示运算结果为正数，SF=1表示运算结果为负数
- SF = 最高位的本位和（也是结果的最高位）
- SF位对无符号数的加减法无意义
ZF
- 表示运算结果是否为0。
- ZF=1表示运算结果为0，ZF=0表示运算结果非0
- 两个数的运算结果为n bit，只有n bit全为0时，ZF =1
- 对有符号、无符号都有意义
CF
-
进位、借位标志
-
表示无符号数的加减法是否发生了进位或借位
-
当CF=1时，说明无符号数的加减法发生了进位或借位，即发生了溢出
-
CF=最高位产生的进位⊕sub
- sub=1，表示减法
- sub=0，表示加法
-
CF位对有符号数的加减法无意义
-
有符号数的加减运算是否发生了溢出。
-
OF=1时，说明发生了溢出
-
OF=最高位产生的进位 ⊕ 次高位产生的进位
-
OF位对无符号数的加减法无意义
计算机怎么区分有符号数无符号数?
- 标志位会保存在PSW，ALU无法区分有符号数和无符号数，但由于计算机分为无符号加法和有符号加法。指令不同，执行时安排的微操作不同，从而区分有符号数和无符号数。
【※】存储排列和数据类型转换
数据类型大小
- char：1B
- short：2B
- int：4B
- float：4B
- long：4B
- double：8B
Tips:
- C语言中定点整数是用补码存储的
数据类型转换
整数之间转换（带符号和无符号之间）
- 长度相同
- 机器数不变，解释方式改变
- 短变长
- 先扩展：
- 无符号数补0
- 有符号数补符号
- 再解释
- 先扩展：
- 长变短
- 直接截断，只留下低位
- 再解释
整数与浮点数之间的转换
- 整数转浮点数：
- 先转换为2进制，写出科学记数法1.xxxx，再转为浮点数，截断尾部采用0舍1入的原则
- ⚠️可能精度丢失
- 浮点数转整数：
- 写出二进制小数，去掉小数部分，整数部分保留更低的位数
- ⚠️可能溢出、精度丢失
进位计数制
进制转换
- 二进制 <-> 八进制：每3个二进制位对应一个八进制位
- 二进制 <-> 十六进制：每4个二进制位对应一个十六进制位
- 【PS：整数部分前面补0，小数部分后面补0】
- 十进制 -> 进制
- 整数部分:除基取余法，先取得的“余”是整数的低位
- 小数部分:乘基取整法，先取得的“整”是小数的高位
2的次幂
| 次幂 | 2的次幂 |
|---|---|
| -4 | 0.0625 |
| -3 | 0.125 |
| -2 | 0.25 |
| -1 | 0.5 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 6 | 64 |
| 7 | 128 |
| 8 | 256 |
| 9 | 512 |
| 10 | 1024 |
| 11 | 2048 |
| 12 | 4096 |
| 13 | 8192 |
| 14 | 16384 |
| 15 | 32768 |
| 16 | 65536 |
各种码的基本特性
无符号整数的表示和运算
• 加法
• 全部位按位相加
• 减法
•
x
−
y
=
x
+
[
−
y
]
x-y=x+[-y]
x−y=x+[−y]
•
[
−
y
[−y
[−y]是
[
y
]
[y]
[y]从右往左第一个1的左边全部取反
• 溢出
• 手算：判断加减法的结果是否超出无符号数合法表示范围
• 机算：
C
F
=
最高位进位
⊕
S
u
b
CF = 最高位进位 ⊕ Sub
CF=最高位进位⊕Sub
带符号整数的表示和运算
Tips：
• 计算机内部，所有带符号整数的加减法都要先转换为补码
计算机硬件如何做带符号数补码的加法:
• 从最低位开始，所有位按位相加（符号位参与运算），并往更高位进位
计算机硬件如何做带符号数补码的减法:
• "被减数”不变，“减数”从右往左找到第一个1，这个1左边的全部位按位取反减法变加法
有符号数：
• 加法
• 按位相加
• 减法
•
[
x
]
补
−
[
y
]
补
=
[
x
]
补
+
[
−
y
]
补
[x]_补 - [y]_补 = [x]_补 + [−y]_补
[x]补−[y]补=[x]补+[−y]补
•
[
−
y
]
补
是
[
y
]
补
[−y]_补 是 [y]_补
[−y]补是[y]补 从右往左第一个1的左边全部位按位取反
• 溢出
• 手算：判断加减法的结果是否超出有符号数合法表示范围
• 机算：
O
F
=
最高位进位
⊕
次高位进位
OF = 最高位进位 ⊕ 次高位进位
OF=最高位进位⊕次高位进位
码之间的转换
- [x]_移→[−x]_移：全部位按位取反，末位+1
- 使用补码表示时，若符号位相同，则数值位越大，码值越大
[
x
]
原
→
[
x
]
反
？
[x]_原→[x]_反？
[x]原→[x]反？
• 正数：不变
• 负数：符号位不变，数值位按位取反
[
x
]
原
↔
[
x
]
补
？
[x]_原↔[x]_补？
[x]原↔[x]补？
• 正数：不变
• 负数：符号位不变，从右往左找到第一个“1”，这个1左边的所有“数值位”按位取反
[
x
]
补
↔
[
−
x
]
补
？
[x]_补↔[−x]_补？
[x]补↔[−x]补？
• 从右往左找到第一个“1”，这个1左边的全部位按位取反
[
x
]
补
↔
[
x
]
移
？
[x]_补↔[x]_移？
[x]补↔[x]移？
• 符号位取反
如何用补码快速计算真值：
- 直接在补码前面加上负号，再计算值
○ Eg：
[
1110
]
补
=
−
2
3
+
2
2
+
2
=
−
2
[1110]_补 = −2^3 + 2^2 + 2 = −2
[1110]补=−23+22+2=−2
- 遇到一大串的1，将其看作符号位，直接化为最简，再用上述方法
○ Eg：
[
11111110
]
补
=
[
10
]
补
=
−
2
[11111110]_补 = [10]_补 = −2
[11111110]补=[10]补=−2
如何快速求真值的补码：
eg：
−
8190
=
−
8192
+
2
=
[
1110
,
0000
,
0000
,
0010
]
补
=
E
002
H
−8190 = −8192 + 2 = [1110,0000,0000,0010]_补 = E002H
−8190=−8192+2=[1110,0000,0000,0010]补=E002H
移位运算
算数移位【针对有符号数】
- 左移1位相当于乘基数；右移1位相当于除基数，但由于位数有限，所以有时候算数移位并不能完全等效于乘除运算。
- 是针对有符号数：符号位保持不变。
- 正数：原码、反码、补码，无论左移还是右移都是补0
- 负数：
- 原码左移、右移都补0
- 反码左移和右移都补1
- 补码左移补0，右移补1
- 若采用双符号位来表示数，则最高符号位永远是真正的符号位，因此在算术移位时只有高符号位保留不变，低符号位要参与移位
逻辑移位【针对无符号数】
- 针对无符号数。符号位参与，左移、右移都补0，移出的位舍弃
循环移位
- 不带进位位
- 用移出的位补上空缺
- 带进位位
- 移出的位放到进位位，原进位位补上空缺
乘除运算
无符号整数
- 逻辑左移代替*2
- 溢出判断：
- n位乘n位，若用2n位保存乘积，则不会溢出
- n位乘n位，若用2n位保存中间结果，最后截取末尾n位作为最终的乘积，则可能溢出
- 当且仅当2n的前n位都是0时才不会溢出
有符号数
- 算术左移代替*2
- 溢出判断：
- n位乘n位，若用2n位保存乘积，则不会溢出
- n位乘n位，若用2n位保存中间结果，最后截取末尾n位作为最终的乘积，则可能溢出
- 当且仅当2n的前n+1位是全0或全1时才不会溢出
【※】IEEE754
IEEE754浮点数与真值相互转化
由浮点数确定真值(阶码不是全0、也不是全1) :
- 划分“某浮点数”，确定数符、阶码、尾数的分布
- 确定尾数1.M(注意补充最高的隐含位1)
- 确定 阶码的真值 = 移码 − 偏置值 阶码的真值 = 移码-偏置值 阶码的真值=移码−偏置值 (可将移码看作无符号数，用无符号数的值减去偏置值)
- ( − 1 ) s × 1. M × 2 ( E − 偏置值 ) (-1)^s × 1.M × 2^{(E - 偏置值)} (−1)s×1.M×2(E−偏置值)
浮点数的加减运算
对阶
- 目的：使两个操作数的小数点位置对齐
- 对阶操作只把较小的阶码调整到较大的阶码【所以不会引起阶码的上溢或下溢】
- 阶码增大，尾数右移
- 无阶码减小的情况【因为只用小阶向大阶对齐】
尾数求和
- 原码定点数的加减法
规格化
- 尾数规格化为1.xxxx的形式
舍入
- 舍入是浮点数概念，定点数无舍入
- 浮点数舍入的情况：对阶或者右规格化
- 舍入不一定产生误差（后几位为0时不产生误差）
溢出
- 尾数右规，阶码上溢，发生溢出异常
- 尾数左规，阶码下溢，当机器0处理
- 如果双符号位为01或10时，则溢出【第一个符号是真的符号】
- 10：正溢
- 01：负溢
- 尾数舍入可能引起阶码的上溢
- 尾数溢出时，结果不一定溢出
C强制类型转换
- 无损：
- char→int→long→double
- float→double
- 有损：
- int→float【可能会损失精度，float 的尾数数值位只有1+23位】
- float→int 【可能会溢出，也可能会损失精度，如小数转整数】
浮点数的规格化
- 规格化：规定尾数的最高数位必须是一个有效值(1)【即，基数为2时，要求尾数： 1 / 2 ≤ ∣ M ∣ < 1 1/2≤|M|<1 1/2≤∣M∣<1】
- 采用规格化浮点数的目的是为了增加数据的表示精度
- 负数补码的最高数值位是0，就是一个规定，不用纠结为什么
- 补码表示的最高位与尾数的符号位不同时，表示规格化了
