概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
大自然的奇观：
两种特殊的二叉树
1. 满二叉树:
如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵
二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树:
从上到下，从左到右依次。
要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
（度为0的节点会比度为2的节点多一个）
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，否则无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
答案：
1.B
2.A
3.B
4.B
二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
int val;
Node left;// 数据域
// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val;
Node left;// 数据域
// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
二叉树的基本操作
二叉树的遍历
下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，可自己动手绘制。
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
层序遍历
前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
public class TestBinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
// 前序遍历
void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
//递归遍历左子树
preOrder(root.left);
//递归遍历右子树
preOrder(root.right);
}
// 中序遍历
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}
// 后序遍历
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
}
public class Test {
public static void main(String[] args) {
TestBinaryTree testBinaryTree=new TestBinaryTree();
TestBinaryTree.TreeNode root=testBinaryTree.createTree();
testBinaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
testBinaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
testBinaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
}
}
注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H上难度：画出这棵树 并且求出后序遍历
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
二叉树的基本操作
//子问题思路
//获取树中节点的个数(左子树节点个数+右子树节点个数+1=整棵树的节点个数）
public int size(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int ret = size(root.left) + size(root.right) + 1;
return ret;
}
public static int nodeSize;
//遍历思路
public void size2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
nodeSize++;
size2(root.left);
size2(root.right);
}
// 获取叶子节点的个数
//子问题的思路（整颗树的叶子节点个数=左子树的叶子节点+右子树的叶子节点）
int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount(root.right) + getLeafNodeCount(root.right);
}
//遍历思路：以某种方式遍历这棵树，只要发现是叶子就++
public int leafSize;
public void getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
leafSize++;
}
getLeafNodeCount(root.left);
getLeafNodeCount(root.right);
}
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
}
// 获取二叉树的高度(整棵树的高度=Math.max(左树高度+右树高度)+1）
int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
// 检测值为value的元素是否存在
TreeNode find(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.val == val) {
return root;
}
TreeNode ret = find(root.left, val);
if (ret != null) {
return ret;
}
ret = find(root.right, val);
if (ret != null) {
return ret;
}
return null;
}
