Acwing.4009 收集卡牌(期望dp)

题目

小林在玩一个抽卡游戏，其中有 n种不同的卡牌，编号为 1到 n。

每一次抽卡，她获得第 i种卡牌的概率为 pi。

如果这张卡牌之前已经获得过了，就会转化为一枚硬币。

可以用 k枚硬币交换一张没有获得过的卡。

小林会一直抽卡，直至集齐了所有种类的卡牌为止，求她的期望抽卡次数。

如果你给出的答案与标准答案的绝对误差不超过 10−4，则视为正确。

提示：聪明的小林会把硬币攒在手里，等到通过兑换就可以获得剩余所有卡牌时，一次性兑换并停止抽卡。

输入格式

输入共两行。

第一行包含两个用空格分隔的正整数 n,k，第二行给出 p1,p2,…,pn，用空格分隔。

输出格式

输出共一行，一个实数，即期望抽卡次数。

数据范围

对于 20% 的数据，保证 1≤n,k≤5。对于另外 20%的数据，保证所有 pi是相等的。对于 100%的数据，保证
1≤n≤16,1≤k≤5，所有的 pi满足 pi≥110000，且 ∑ni=1pi=1。注意，本题在官网必须保留
10位小数才能通过（可能是没加SPJ），在本网站无此问题，只要满足你给出的答案与标准答案的绝对误差不超过 10−4，则视为正确。

输入样例1：

2 2
0.4 0.6

输出样例1：

2.52

样例1解释

共有 2种卡牌，不妨记为 A和 B，获得概率分别为 0.4和 0.6，2枚硬币可以换一张卡牌。下面给出各种可能出现的情况：

第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.6=0.24，抽卡次数为 2。
第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.4×0.6=0.096，抽卡次数为 3。
第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 A，用硬币兑换 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.4×0.4=0.064，抽卡次数为 3。
第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.4=0.24，抽卡次数为 2。
第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.6×0.4=0.144，抽卡次数为 3。
第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 B，用硬币兑换 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.6×0.6=0.216，抽卡次数为 3。
因此答案是 0.24×2+0.096×3+0.064×3+0.24×2+0.144×3+0.216×3=2.52。

输入样例2：

4 3
0.006 0.1 0.2 0.694

输出样例2：

7.3229920752

题解

import java.text.DecimalFormat;
import java.util.*;

/**
 * @author amuya
 * @create 2024-04-10-19:46
 */
public class CollectCards {
    static int n,m;
    static int N=16;
    static int M=1<<N;
    //硬币不超过80，超过80直接结束
    static double f[][]=new double[M][N*5+1];
    static double p[]=new double[N+1];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        n=scanner.nextInt();
        m=scanner.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            p[i]=scanner.nextDouble();
        }

        for(int i=0;i<M;i++) Arrays.fill(f[i],-1);
        DecimalFormat df=new DecimalFormat("#.##########");
        String s=df.format(dp(0,0,n));
        System.out.println(s);
    }
    public static double dp(int a,int b,int r){
        if(f[a][b]>=0) return f[a][b];
        if(b>=r*m) {
            f[a][b]=0;
            return 0;
        }


        f[a][b]=0;

        for(int i=0;i<n;i++){
            if((a&(1<<i))>0){
                f[a][b]+=p[i+1]*(dp(a,b+1,r)+1);
            }else{
                f[a][b]+=p[i+1]*(dp(a|(1<<i),b,r-1)+1);
            }
        }

        return f[a][b];
    }
}

思路

使用状态压缩DP可以存储所有情况，再通过数学推导推导出递推公式，具体推导过程如下图。
其中状态转移数组有两个参数 a（压缩状态），b(硬币数)（可有可无，仅方便计算），值为从当前状态到抽完所需要抽数的期望。
然后根据下列推导，当前期望等于接下来所有可能的概率乘以其对应的期望+1，为什么加1，因为下一种情况必然多抽了一次。再根据数学推导得到状态转移方程。

在这里插入图片描述