代码随想录--数组--二分查找

数组理论基础

数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合。
数组可以方便的通过下标索引的方式获取到下标下对应的数据。

举一个字符数组的例子,如图所示:
在这里插入图片描述需要两点注意的是

数组下标都是从0开始的。
数组内存空间的地址是连续的。

正是因为数组的在内存空间的地址是连续的,所以我们在删除或者增添元素的时候,就难免要移动其他元素的地址。

例如删除下标为3的元素,需要对下标为3的元素后面的所有元素都要做移动操作,如图所示:
在这里插入图片描述而且大家如果使用C++的话,要注意vector 和 array的区别,vector的底层实现是array,严格来讲vector是容器,不是数组。

数组的元素是不能删的,只能覆盖。

在这里插入图片描述那么二维数组在内存的空间地址是连续的么?

不同编程语言的内存管理是不一样的,以C++为例,在C++中二维数组是连续分布的。

我们来做一个实验,C++测试代码如下:
void test_arr() {
int array[2][3] = {
{0, 1, 2},
{3, 4, 5}
};
cout << &array[0][0] << " " << &array[0][1] << " " << &array[0][2] << endl;
cout << &array[1][0] << " " << &array[1][1] << " " << &array[1][2] << endl;
}

int main() {
test_arr();
}

测试地址为
0x7ffee4065820 0x7ffee4065824 0x7ffee4065828
0x7ffee406582c 0x7ffee4065830 0x7ffee4065834

注意地址为16进制,可以看出二维数组地址是连续一条线的。
0x7ffee4065820 与 0x7ffee4065824 差了一个4,就是4个字节,因为这是一个int型的数组,所以两个相邻数组元素地址差4个字节。

0x7ffee4065828 与 0x7ffee406582c 也是差了4个字节,在16进制里8 + 4 = c,c就是12。

如图:
在这里插入图片描述所以可以看出在C++中二维数组在地址空间上是连续的。

像Java是没有指针的,同时也不对程序员暴露其元素的地址,寻址操作完全交给虚拟机。

所以看不到每个元素的地址情况,这里我以Java为例,也做一个实验。

public static void test_arr() {
int[][] arr = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, {9,9,9}};
System.out.println(arr[0]);
System.out.println(arr[1]);
System.out.println(arr[2]);
System.out.println(arr[3]);
}

输出的地址为:
[I@7852e922
[I@4e25154f
[I@70dea4e
[I@5c647e05

这里的数值也是16进制,这不是真正的地址,而是经过处理过后的数值了,我们也可以看出,二维数组的每一行头结点的地址是没有规则的,更谈不上连续。

所以Java的二维数组可能是如下排列的方式:
在这里插入图片描述

二分查找

给定一个 n 个元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target ,写一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示:

你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路

这道题目的前提是数组为有序数组,同时题目还强调数组中无重复元素,因为一旦有重复元素,使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的,这些都是使用二分法的前提条件,当大家看到题目描述满足如上条件的时候,可要想一想是不是可以用二分法了。

二分查找涉及的很多的边界条件,逻辑比较简单,但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right),到底是right = middle呢,还是要right = middle - 1呢?

大家写二分法经常写乱,主要是因为对区间的定义没有想清楚,区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中,保持不变量,就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作,这就是循环不变量规则。

写二分法,区间的定义一般为两种,左闭右闭即[left, right],或者左闭右开即[left, right)。

二分法第一种写法

第一种写法,我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里,也就是[left, right] (这个很重要非常重要)。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写,因为定义target在[left, right]区间,所以有如下两点:

while (left <= right) 要使用 <= ,因为left == right是有意义的,所以使用 <=
if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1,因为当前这个nums[middle]一定不是target,那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组:1,2,3,4,7,9,10中查找元素2,如图所示:
在这里插入图片描述
代码如下:(详细注释)
// 版本一
class Solution {
public:
int search(vector& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里,[left, right]
while (left <= right) { // 当left==right,区间[left, right]依然有效,所以用 <=。
举例:[1,1]是合法区间,里面只有一个元素1。
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间,所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间,所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};

时间复杂度:O(log n)
空间复杂度:O(1)

二分法第二种写法

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里,也就是[left, right) ,那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点:

while (left < right),这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的,[1,1)是不合法区间。
if (nums[middle] > target) right 更新为 middle,因为当前nums[middle]不等于target,去左区间继续寻找,而寻找区间是左闭右开区间,所以right更新为middle,即:下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组:1,2,3,4,7,9,10中查找元素2,如图所示:(注意和方法一的区别
在这里插入图片描述代码如下:(详细注释)
// 版本二
class Solution {
public:
int search(vector& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里,即:[left, right)
while (left < right) { // 因为left == right的时候,在[left, right)是无效的空间,所以使用 <
int middle = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间,在[left, middle)中
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间,在[middle + 1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};
时间复杂度:O(log n)
空间复杂度:O(1)

总结

Java:

(版本一)左闭右闭区间
class Solution {
public int search(int[] nums, int target) {
// 避免当 target 小于nums[0] nums[nums.length - 1]时多次循环运算
if (target < nums[0] || target > nums[nums.length - 1]) {
return -1;
}
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
}
return -1;
}
}
(版本二)左闭右开区间
class Solution {
public int search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else if (nums[mid] > target)
right = mid;
}
return -1;
}
}

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