2017NOIP普及组真题 4. 跳房子

线上OJ:

一本通:http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1417\

核心思想

首先、本题中提到 “ 至少 要花多少金币改造机器人,能获得 至少 k分 ”。看到这样的话语,基本可以考虑要使用 二分答案
那么,本题中的 答案 是什么?就是: 在确定维修金币g的情况下,能获得的分数是否会> k
由于本题中的 格子在同一条直线上,且只能从左往右跳,所以 每一种答案 都可以使用 动态规划 来解决。
而且动态规划的 dp 方程也很好找,因为 当前格子的最高分 肯定是由 之前某个最高分的格子跳过来的,即:

d p [ i ] = m a x ( d p [ i ] , d p [ j ] + a [ i ] ) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i])

所以,我们从 i 号格子前面的第一个格子开始查找得分最高的格子。在这里需要注意的是:不是所有的 j 都需要查找。只有当 j 的跳跃区间 [d-g, d+g] 能够触达(或包含)i坐标 的时候,这个 j 才能用于更新dp[i]。
以下三个举例(及配图)便于理解j和i的关系

举例1: i 号格子位于坐标10,j 号格子位于坐标5(此时 j 的跳跃区间为 [2,4],也就是 j 能跳到的地方为[7,9]),所以此时 j 号格子无法触达 i,所以 j 号格子不需要用于更新dp[i]。
举例2: i 号格子位于坐标10,j 号格子位于坐标5(此时 j 的跳跃区间为 [2,6],也就是 j 能跳到的地方为[7,11]),所以此时 j 号格子可以触达 i,所以 j 号格子需要用于更新dp[i]。
举例3: i 号格子位于坐标10,j 号格子位于坐标5(此时 j 的跳跃区间为 [6,8],也就是 j 能跳到的地方为[11,13]),所以此时 j 号格子无法触达 i,所以 j 号格子不需要用于更新dp[i]。

在这里插入图片描述

综上所述,有效的 j 点应该满足
d − g < = x [ i ] − x [ j ] < = d + g d-g < = x[i] - x[j] < = d+g dg<=x[i]x[j]<=d+g
我们令左边界为 l = d - g,右边界为 r = d + g,则仅当 满足①和②式的 j 点 才参与dp[i]的运算

x [ i ] − x [ j ] > = l x[i] - x[j] > = l x[i]x[j]>=l; ①
$x[i] - x[j] < =r $; ②

题解代码:
解法一:二分答案 + 动态规划(仅80%分数)
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 500005

using namespace std;

int n, d, k;

ll x[MAXN], s[MAXN], dp[MAXN];

// 检查花费g个金币进行改造后,最高得分是否会超过 k
bool check(int g)
{
    // 计算在花费g金币下,机器人每次向右跳的距离边界[l, r] = [d-g, d+g]。注:左边界不能小于1 
    int l = max(1, d - g);  // 机器人每次能跳跃的最小距离 
    int r = d + g;			// 机器人每次能跳跃的最大距离

    memset(dp, 0xaf, sizeof(dp));  // 全部初始化为一个很小的数。

    dp[0] = 0; // 数据即分数都从第一个格子开始,所以第0个格子初始化为0分 
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        // 从i的前一个格子开始枚举j,直到j枚举到起点(如果i和j之间的距离已经超过弹跳上限r,则没必要继续j--了) 
        for(int j = i - 1; (j >= 0) && (x[i] - x[j] <= r); j --)
        {
            // 如果j号格子距离i号格子不能太近,至少要≥机器人弹跳的最小距离”,否则就j--,寻找更远的j 
            if(x[i] - x[j] >= l)
            {
                // i的最高得分应该是从前面能跳过来的格子j里得分最高的格子跳过来的
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + s[i]);	
                if(dp[i] >= k) return true;
            }            
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &d, &k);

    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%lld%lld", &x[i], &s[i]);

    // 由于x[i]的坐标范围可到 10^9,在极端情况下有可能前面全是负值,只有最后一个x[n]是正值,此时要搜索的答案g也会达到 10^9(即一步跳到最后一个正值)。所以二分答案时 r 应取到 x[n]。但如此一来,效率就变低了,只能拿到80%的分数
    int l = 0, r = x[n], mid, ans = -1;  

    while(l <= r)
    {
        mid = (l + r) >> 1;

        if(check(mid))
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else l = mid + 1;
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

以上方法只能拿到80分,因为二分答案的右区间 r 取值为 x[n],数据过于庞大。

解法二、二分答案 + 动态规划 + 单调队列(100%)

由于 二分答案时的 r 取值为 x[n]过于庞大,所以此时考虑对 check 函数进行优化。由于 dp[i] 是之前的某个最大值 dp[j] 跳过来,所以可以考虑优先队列;同时由于 j 是有区间的,所以考虑优先队列的升级版–单调队列(单调队列适合在一个动态小区间中寻找极值

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 500005

using namespace std;

int n, d, k;

ll x[MAXN], s[MAXN], dp[MAXN];

//检查花费g个金币进行改造后,最高得分是否会超过k
bool check(int g)
{
    // 计算在花费g金币下,机器人每次向右跳的距离边界[l, r] = [d-g, d+g]。注:左边界不能小于1 
    ll l = max(1, d - g);  // 机器人每次向右跳的最小距离 
    ll r = d + g;			// 机器人每次向右跳的最大距离

    memset(dp, 0xaf, sizeof(dp));

    dp[0] = 0; // 数据即分数都从第一个格子开始,所以第0个格子初始化为0分 

    ll j = 0;
    deque<int> q;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        // 根据区间[l, r],剔除队尾的  
        while(x[i] - x[j] >= l)	// 根据i查找所有符合跳跃左边界的j 
        {
            // 将队列中比 dp[j] 还小的直接移除 (由于按照单调队列存储,故从队尾判断)
            while( !q.empty() && dp[q.back()] < dp[j] )
                q.pop_back();
                
            q.push_back(j); // 把 j 放到单调队列的尾部,此时dp[j]是当前区间内最小的 
            j ++;
        }
        
        // 根据区间 [l, r],剔除队头的 
        while(!q.empty() && x[q.front()] + r < x[i]) // 如果最大的格子距离i太远,已经超过弹跳上限r 
            q.pop_front();	// 则说对对头元素不在 [l,r] 内,弹出 
            
        if(!q.empty())	// 如果此时队列依然非空,则取队首的元素下标 q.front() 来做 dp 
            dp[i] = dp[q.front()] + s[i];
            
        if(dp[i] >= k)
            return true;
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &d, &k);

    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%lld%lld", &x[i], &s[i]);

    int l = 0, r = x[n], mid, ans = -1;

    while(l <= r)
    {
        mid = (l + r) >> 1;

        if(check(mid))
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else l = mid + 1;
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

备注:这道题想 混分 有点 ,虽然参考输入样例2中给出了输出 -1 的场景(即:所有正的分数总和依然达不到目标分数k),但是实际的测试数据中并没有这种情况,所以这道题骗分骗不到。

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