转圈游戏——快速幂

题目

思路

代码

题目

思路

每个小朋友移动一次的位置为 $(x+m)\%n$ ，移动 q 次的位置则为 $(x+m*q)\%n$ 。那么题目要求移动 $10^k$ ，最后的位置为 $(x+m*10^k)\%n$ 。

但 $k$ 的范围是 $10^9$ ，而总的移动次数是 $10^k$ 。时间复杂度是在 $10^{10}$ ，因此是一定不能硬算的，肯定会超时。那么该如何快速求解 $10^k$ ，可以发现这是一个非常经典的求 $a^k\ mod \ b$ （即 $10^k\ mod \ n$ ），我们可以使用快速幂求解此类问题，时间复杂度可以降到 $log10^{10}$ 。快速幂（求解原理+例题）-CSDN博客。

有 $(x+m*10^k)\ mod\ n\equiv x\ mod\ n+m*10^k\ mod\ n$ ，

$m*10^k\ mod\ n \equiv (m\ mod \ n)\times (10^k\ mod\ n)$

因此我们先求出 $10^k\ mod \ n$ 的结果，再带入公式 $(x+m*10^k)\%n$ ，就可以求出结果。

代码

n的取值范围在10^6，两个10^6 以内的数相乘可以达到 10^12，会爆int，因此需要long类型。

import java.util.*;

class Main{
    static long n,m,k,x;
    public static void main(String[] args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextLong();
        m = in.nextLong();
        k = in.nextLong();
        x = in.nextLong();
        qmi(10,k,n);
    }
    public static void qmi(long a,long k,long b){
        long res = 1 % p; // 不乏有出题人将n设置为1
        while(k!=0){
            if((k&1)==1) {
                res = res*a%n;
            }
            k = k>>1;
            a = a*a%n;
        }
        System.out.println((x+res*m)%n);
    }
}

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